Matematyka.pl

W rombie o obwodzie \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\) długości przekątnych różnią się o 4; oblicz ich długość.

Oznaczmy dłuższą przekątną jako \(\displaystyle{ a}\), krótszą jako \(\displaystyle{ b}\).

Na podstawie treści zadania:

\(\displaystyle{ a=b+4}\)

Romb ma cztery boki równej długości. Znając obwód możemy policzyć długość boku rombu.

\(\displaystyle{ c=2\sqrt{5}}\)

Z twierdzenia Pitagorasa (dla jednego z trójkątów prostokątnych, który powstaje z podziału rombu przez jego przekątne):

\(\displaystyle{ (\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2=20}\)

Mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Po jego rozwiązaniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a=8}\)
\(\displaystyle{ b=4}\)

/ Wkradł się błąd, ale już poprawiłem. /

\(\displaystyle{ Obw=8\sqrt5 \newline
4a=8\sqrt5 \newline
a=2\sqrt5}\)

Przekątne różnią się o 4 zatem niech mają długości x oraz x+4, gdzie x>0
Przekątne w rombie przecinają się w połowie i razem z bokiem tworzą trójkąt prostokątny
\(\displaystyle{ (\frac{x}{2})^2 +(\frac{x+4}{2})^2 =(2\sqrt5)^2 \newline
\frac{x^2}{4} + \frac{x^2+8x+16}{4} = 20 /\cdot 4 \newline
x^2 + x^2 + 8x + 16 =80\newline
2x^2+8x-64=0\newline
x^2+4x-32=0\newline
\Delta=16+128=144\newline
\sqrt{\Delta}=12\newline
x_1=\frac{-4-12}{2}=-7 <0 \newline
x_2=\frac{-4+12}{2}=4\newline
x=4\newline
x+4=8}\)
Przekątne mają długość 4 i 8