Matematyka.pl

Proszę o sprawdzenie zadania.

Zadanie:
Wyznacz wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&2\end{bmatrix}}\)

Wartość własna:

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = 0}\)

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-\lambda&0\\0&2-\lambda\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ det(A - \lambda I) = \lambda^{2}-3\lambda+2}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{2} = 2}\)

Wektory własne:

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-1&0\\0&2-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{2}=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-2&0\\0&2-2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -x&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x = 0}\)

Wartości własne ok, ale co zrobiłeś z wektorami, nie rozumiem.

Rozwiązanie jest nieskończone. Wektory własne trzeba znaleźć.

Wektory własne:

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-1&0\\0&2-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0\\0&y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)
\(\displaystyle{ x \in R}\)

Czyli wektor własny wynosi:
\(\displaystyle{ V_{1} = (x , 0) ,gdzie \ \ x\in R}\)

\(\displaystyle{ Dla: \lambda_{2}=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-2&0\\0&2-2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0\\0&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -x&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x = 0}\)
\(\displaystyle{ y \in R}\)

Czyli wektor własny wynosi:
\(\displaystyle{ V_{2} = (0 , y) ,gdzie \ \ y\in R}\)

Czy teraz już dobrze wyznaczyłem wektory własne?

Chyba nie. Wektor własny nie może być wektorem zerowym.

JankoS pisze:Chyba nie. Wektor własny nie może być wektorem zerowym.

Może napisz jak wyznaczyć wektory własne macierzy to dojdę już jak rozwiązać kolejne przykłady.

Proszę się nie zniechęcać. Wszystko jest prawie dobrze, trzeba tylko wyeliminować wektor zerowy, a więc \(\displaystyle{ V_1=(x,0), \ x \in R-\{0\}.}\) Tak samo drugi.