rzut punktu na prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Minnie_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 17 sty 2010, o 11:49
Płeć: Kobieta

rzut punktu na prostą

Post autor: Minnie_ » 30 maja 2010, o 12:05

Znaleźć rzut punktu \(P(2,3,4)\) na prostą \(x=y=z\).

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

rzut punktu na prostą

Post autor: lukasz1804 » 31 maja 2010, o 13:46

Oznaczmy szukany punkt przez S. Ponieważ leży on na prostej \(x=y=z\), to \(S=(t_0,t_0,t_0)\) dla pewnego \(t_0\). Co więcej, S jako rzut leży w najmniejszej możliwej odległości od punktu P. Rozważmy odległość \(|PS|\) jako funkcję \(f\) zmiennej \(t\):
\(f(t)=\sqrt{(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2}\) dla \(t\in\mathbb{R}\).
Zauważmy, że funkcja \(f\) przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc osiąga ona minimum dokładnie dla takiego argumentu, dla którego minimum osiąga funkcja \(f^2\), która jest funkcją kwadratową. Mamy \(f^2(t)=(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2=3t^2-18t+29\) dla \(t\in\mathbb{R}\). Funkcja ta osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli będącej jej wykresem, dla odciętej równej \(t_0=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3\). Wobec tego \(S=(3,3,3)\).

ODPOWIEDZ