Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
Logoandre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 8 paź 2009, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93

Post autor: Logoandre » 30 maja 2010, o 00:10

Niedawno kupiłem, zbiór zadań z olimpiad ze świata oraz rozwiązania (Henryka Pawłowskiego) i nie rozumiem jednego z rozwiązań: Treść zadania: 15. Udowodnij że jezeli liczby a, b, m są calkowite i \(a^{2}+2mb^{2}\) jest kwadratem liczby calkowitej to \(a^{2}+mb^{2}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. ====================== Rozwiązanie: Roz15. Niech t będzie liczbą całkowitą że (*) \(a^{2}+2mb^{2}=t^{2}\) gdzie a,b i m są liczbami całkowitymi. Wówczas \(2(a^{2}+mb ^{2})=a ^{2}+t ^{2}= \frac{(a-t) ^{2}}{2}+\frac{(a-t) ^{2}}{2}\) Stąd \(a ^{2}+mb ^{2}= (\frac{a-t}{2})^{2}+(\frac{a+t}{2})^{2}\) Kończy to dowód tezy zadania, gdyż z (*) wynika że \(a\equiv t(mod 2)\) ====================== A teraz pytania. Po pierwsze ostatnie zdanie jest dla mnie nie zrozumiałe. O ile wiem \(a\equiv t(mod 2)\) oznacza że a dzielone przez 2 daje resztę t, ale to zupełnie nie wynika z gwiazdki. Po drugie czy nie wynika z treści że a^2+mb^2 jest to sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych? (przecież a jest całkowite, oraz mb też musi być całkowite) Z góry dzięki za odpowiedzi

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2953
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93

Post autor: tometomek91 » 30 maja 2010, o 00:23

\(a ^{2}+t ^{2} = \frac{(a-t) ^{2}}{2}+\frac{(a-t) ^{2}}{2}\)
nieprawda i \(mb^2\) niekoniecznie jest kwadratem liczby całkowitej. \(a^{2}+2mb^{2}=t^{2}\\ 2mb^{2}=(t-a)(t+a)\\ mb^2=\frac{t-a}{2} \cdot \frac{t+a}{2}\) Lewa strona całkowita, więc jakie wnioski?

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93

Post autor: Elvis » 1 cze 2010, o 14:49

Po pierwsze ostatnie zdanie jest dla mnie nie zrozumiałe. O ile wiem \(a\equiv t(mod 2)\) oznacza że a dzielone przez 2 daje resztę t, ale to zupełnie nie wynika z gwiazdki.
Niedokładnie to oznacza. Oznacza to, że a i t dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 2, czyli w tym przypadku, że są tej samej parzystości. Jeszcze inaczej, \(a \equiv b \ (\hbox{mod n}) \iff n|a-b\). W każdym razie z gwiazdki wynika, że a i t różnią się o liczbę parzystą, więc przystają modulo 2. Oczywiście autorowi służyło to do tego, aby powiedzieć, że \(a-t\) i \(a+t\) są parzyste, więc po podzieleniu przez 2 są całkowite.
Po drugie czy nie wynika z treści że \(a^2+mb^2\) jest to sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych? (przecież a jest całkowite, oraz mb też musi być całkowite)
Nijak nie wynika. Być może przez pomyłkę przeczytałeś \(m^2b^2\) zamiast \(mb^2\).

ODPOWIEDZ