Rozwiązanie zadania z olimiady Słowenia93

[Logoandre]

Niedawno kupiłem, zbiór zadań z olimpiad ze świata oraz rozwiązania (Henryka Pawłowskiego) i nie rozumiem jednego z rozwiązań:

Treść zadania:
15. Udowodnij że jezeli liczby a, b, m są calkowite i \(\displaystyle{ a^{2}+2mb^{2}}\) jest kwadratem liczby calkowitej to \(\displaystyle{ a^{2}+mb^{2}}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
======================
Rozwiązanie:
Roz15. Niech t będzie liczbą całkowitą że

(*) \(\displaystyle{ a^{2}+2mb^{2}=t^{2}}\) gdzie a,b i m są liczbami całkowitymi.
Wówczas
\(\displaystyle{ 2(a^{2}+mb ^{2})=a ^{2}+t ^{2}= \frac{(a-t) ^{2}}{2}+\frac{(a-t) ^{2}}{2}}\)

Stąd
\(\displaystyle{ a ^{2}+mb ^{2}= (\frac{a-t}{2})^{2}+(\frac{a+t}{2})^{2}}\)
Kończy to dowód tezy zadania, gdyż z (*) wynika że \(\displaystyle{ a\equiv t(mod 2)}\)
======================

A teraz pytania. Po pierwsze ostatnie zdanie jest dla mnie nie zrozumiałe. O ile wiem \(\displaystyle{ a\equiv t(mod 2)}\) oznacza że a dzielone przez 2 daje resztę t, ale to zupełnie nie wynika z gwiazdki.

Po drugie czy nie wynika z treści że a^2+mb^2 jest to sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych? (przecież a jest całkowite, oraz mb też musi być całkowite)

Z góry dzięki za odpowiedzi

[tometomek91]

\(\displaystyle{ a ^{2}+t ^{2} = \frac{(a-t) ^{2}}{2}+\frac{(a-t) ^{2}}{2}}\)

nieprawda
i
\(\displaystyle{ mb^2}\) niekoniecznie jest kwadratem liczby całkowitej.

\(\displaystyle{ a^{2}+2mb^{2}=t^{2}\\
2mb^{2}=(t-a)(t+a)\\
mb^2=\frac{t-a}{2} \cdot \frac{t+a}{2}}\)
Lewa strona całkowita, więc jakie wnioski?

[Elvis]

Po pierwsze ostatnie zdanie jest dla mnie nie zrozumiałe. O ile wiem \(\displaystyle{ a\equiv t(mod 2)}\) oznacza że a dzielone przez 2 daje resztę t, ale to zupełnie nie wynika z gwiazdki.

Niedokładnie to oznacza. Oznacza to, że a i t dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 2, czyli w tym przypadku, że są tej samej parzystości. Jeszcze inaczej, \(\displaystyle{ a \equiv b \ (\hbox{mod n}) \iff n|a-b}\). W każdym razie z gwiazdki wynika, że a i t różnią się o liczbę parzystą, więc przystają modulo 2.

Oczywiście autorowi służyło to do tego, aby powiedzieć, że \(\displaystyle{ a-t}\) i \(\displaystyle{ a+t}\) są parzyste, więc po podzieleniu przez 2 są całkowite.

Po drugie czy nie wynika z treści że \(\displaystyle{ a^2+mb^2}\) jest to sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych? (przecież a jest całkowite, oraz mb też musi być całkowite)

Nijak nie wynika. Być może przez pomyłkę przeczytałeś \(\displaystyle{ m^2b^2}\) zamiast \(\displaystyle{ mb^2}\).