Matematyka.pl

Dla \(\displaystyle{ k=1 \ P(x)}\) musi być stały i łatwo sprawdzić, że nie ma rozwiązań.
Dla \(\displaystyle{ k=2}\) \(\displaystyle{ P(x)}\) musi być postaci \(\displaystyle{ ax+b}\). Podstawiając i rozwiązując otrzymuje wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x+1}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ k \ge 3}\) Chcę udowodnić, że \(\displaystyle{ P(x)\equiv 0 \pmod{x^n}}\) dla \(\displaystyle{ n=3,4,...,k}\). Zrobię to za pomocą indukcji. Rozważmy \(\displaystyle{ \pmod{x^3}}\) wtedy \(\displaystyle{ P(x) \equiv ax^2+bx+c \pmod{x^3}}\) \(\displaystyle{ x^k\equiv 0 \pmod{x^3}}\). Wtedy\(\displaystyle{ xP(x)-P(x-1) \equiv ax^3+bx^2+cx-ax^2+2ax-a-bx+b-c \equiv \\ \equiv (b-a)x^2+(c+2a-b)x+(b-c-a)}\).
Oznacza to, że musi być spełniony taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b-a=0 \\ c+2a-b=0 \\ b-c-a=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=0 \\b=0 \\c=0 \end{cases}}\)
Załóżmy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ P(x)\equiv 0 \pmod{x^n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n\le k-1}\). Chce otrzymać z tego, że \(\displaystyle{ P(x)\equiv 0 \pmod{x^{n+1}}}\). Z uwagi na to \(\displaystyle{ P(x)\equiv 0 \pmod{x^n}}\) otrzymuje \(\displaystyle{ P(x)=ax^{n} \pmod{x^{n+1}}}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ a \in R}\). Wiem, że \(\displaystyle{ n+1\le k}\), więc \(\displaystyle{ x^k\equiv 0 \pmod{x^{n+1}}}\). Podstawiając to do równania otrzymuje \(\displaystyle{ xP(x)-P(x-1)\equiv ax^{n+1}-a(x-1)^n \equiv a(x-1)^n \pmod{x^{n+1}}}\)Skąd otrzymuje, że \(\displaystyle{ a=0}\). Kończy to dowód indukcyjny. Otrzymałem z tej indukcji, że \(\displaystyle{ P(x)\equiv 0 \pmod{x^k}}\). Z uwagi na to że stopień wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równy \(\displaystyle{ k-1}\), wynika że \(\displaystyle{ P(x)=0}\). Jednak to nie spełnia równania, czyli nie istnieją takie wielomiany dla \(\displaystyle{ k \neq 2}\).