Dowód własności przy użyciu szeregów potęgowych

[ahaswer22]

Witam, mam problem z udowodnieniem jednej własności.

Mamy określone dwa szeregi:
\(\displaystyle{ C(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\:(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\)
\(\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\:(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\)

Musze pokazać, że \(\displaystyle{ C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)}\) i nie mam pojęcia jak.

Byłbym bardzo wdzięczny za jakąkolwiek pomoc.

[Zordon]

mamy
\(\displaystyle{ C(x)=\cos(x)}\)
\(\displaystyle{ S(x)=\sin(x)}\)
Co wynika np. z rozwinięcia Taylora. Teraz trzeba tylko zastosować odpowiedni wzór na cosinus sumy.

[ahaswer22]

Źle sformułowałem prośbę, przepraszam. W problemie chodzi o to aby pokazać, że szeregi \(\displaystyle{ S(x),C(x)}\) zdefiniowane jak wyżej spełniają własności takie jak funkcje trygonometryczne(tzn. jedynka trygonometryczna, sin sumy różnicy, itp.). Jeżeli tak będzie, to te nasze szeregi będzie można sinusem i cosinusem odpowiednio nazwać. No i wszystkie własności jakoś mogę udowodnić a tej nie.

[Zordon]

Ogólnie to sprawa opiera się o mnożenie Cauchyego szeregów. Hmm, a możesz korzystać z szeregów zespolonych? Jeśli tak, to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ e^{x+y}=e^xe^y}\)

[ahaswer22]

No właśnie i tu jest pies pogrzebany, że z szeregów zespolonych skorzystać nie mogę, a z iloczynu Cauchy'ego nie wiele mi wychodzi a probuje to zrobic poraz setny i nic mi nie idzie.

[losiu99]

No to spróbujmy po raz sto pierwszy
Oznaczmy \(\displaystyle{ n-}\)ty wyraz tej różnicy iloczynów Cauchy'ego przez \(\displaystyle{ c_n}\). Mamy
\(\displaystyle{ c_n=
\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} (-1)^{n-k}\frac{y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}\ -\
\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} (-1)^{n-k}\frac{y^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}
=\\ =
(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k}y^{2(n-k)}}{(2k)!(2(n-k))!}-
(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}y^{2(n-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!}
=\\ =
(-1)^n \frac{1}{(2n)!}\sum_{k=0}^n {{2n}\choose {2k}}x^{2k}y^{2(n-k)}+
(-1)^{n+1} \frac{1}{(2n+2)!}\sum_{k=0}^n {{2n+2}\choose {2k+1}}x^{2k+1}y^{2(n-k)+1}
=\\ = P_n+ N_{n+1}}\)
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ P_n + N_n = (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\). Dasz radę dokończyć?
Pozdrawiam!