Strona 1 z 1
Nierówność z pierwiastkami
: 5 lis 2004, o 18:11
autor: Zipper
Udowodnić nierówność dla liczby x,y,z rzeczywistch dodatnich:
sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1) >= sqrt(6x+6y+6z)
Jeżeli któś ma jakiś pomysł w z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Nierówność z pierwiastkami
: 6 lis 2004, o 16:36
autor: kuzio87
hmm... może:
sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1)-sqrt(6x+6y+6z)>=0
dalej zpotęgować i dokończyć...
nie mam 100% pewności czy dobrze, ale chyba tak...
Nierówność z pierwiastkami
: 6 lis 2004, o 17:23
autor: olazola
niestety to nie jest takie proste, spotęgować to nie znaczy pozbyć się pierwiastków w tym wypadku
Nierówność z pierwiastkami
: 6 lis 2004, o 17:33
autor: Arek
nie!!!!!!!!!! Po co? Mamy:
sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1) >= sqrt(6x+6y+6z)
Zgodnie z nierówności pomiędzy średnimi:
sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1) >=
3sqrt[6]((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))
Po podnieniesieniu nierówności do 6 potęgi:
3^6*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))>=(6x+6y+6z)^3 =>
3^3*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))>=(2x+2y+2z)^3 =>
3^3*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)/8)>=(x+y+z)^3 =>
sqrt[3]((x^2+1)/2*(y^2+1)/2*(z^2+1)/2))>=(x+y+z)/3 = sqrt(x^2*1)*sqrt(y^2*1)*sqrt(z^2*1)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności G[A] >=A[G], którą można znaleźć w "Kółku matematycznym dla Olimpijczyków". Zatem odwracając rozumowanie, mamy tezę...