Matematyka.pl

Jak obliczyć np. takie coś:

\(\displaystyle{ i^{i}}\)

Gdzie i to oczywiście jedynka urojona.

Zazwyczaj przyjmuje się tak:

\(\displaystyle{ i^{i}=e^{i\log i}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \log}\) jest gałęzią główną logarytmu zespolonego. Zatem \(\displaystyle{ \log i}\) to taka liczba \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ e^y=i}\) (oraz dodatkowe warunki na część urojoną), można wyliczyć, że \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}i}\). Czyli:

\(\displaystyle{ e^{i\log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}}\)

Dzięki takiej odpowiedzi szukałem. Krótko, konkretnie i na temat. Rozwiałeś moje wątpliwości.