Matematyka.pl

Na ile sposobów można kupić 40l soku, jeśli mamy do dyspozycji 35 butelek 1l, 25 butelek 2l i12 butelek 4l

Wiem, że należy zapisać taki wielomian:

\(\displaystyle{ (1+x^{1}+x^{2}+...+x^{35})(1+x^{2}+x^{4}+...+x^{50})(1+x^{4}+x^{8}+...+x^{48})}\)
i sprawdzić współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{40}}\), ale.. jak go policzyć? Jak na zajęciach robiliśmy podobne zadania, to zawsze można było jakoś sobie pokombinować, i wyliczyć. Ale tutaj.. No ja widzę tyle możliwości ile jest podziałów liczby 40 na 3, 2 lub 1 składników, z założeniem że składniki muszą być podzielne kolejno przez 1,2 i 4..

A drugie zadanie:

Za pomocą funkcji tworzących znaleźć wzór jawny na ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} = a_{1} = 3 \\ a_{n} = a_{n-1} + 2a_{n-2} - 4n^{2}+18n-13 \end{cases}}\)

Wpierw robiłem to wprost z tego wzoru, ale najpierw natrafiłem na \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } n^{2}x^{n}}\), a jak już się z tym uporałem (link) to doszedłem do takiego łamańca że nie wiedziałem co z nim zrobić.. Potem próbowałem stworzyć ciąg
\(\displaystyle{ b_{n+1} = a_{n+1}-a_{n}\ (*)}\) (skracało się to \(\displaystyle{ 4n^{2}}\)), później \(\displaystyle{ c_{n+1} = b_{n+1}-b_{n}}\) (skraca się 8n), ale już na \(\displaystyle{ b_{n}}\) źle wyniki mi wychodziły.. Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ b_{n+1} = a_{n} + 2a_{n-1}-4(n+1)^{2}+18(n+1)-13 - a_{n-1} - 2a_{n-2} + 4n^{2} - 18n + 13 = b_{n} + 2b_{n-1}-8n+14 \\
b_{n} = b_{n-1}+2b_{n-2} - 8n + 22\ (**)}\)

obliczyłem

\(\displaystyle{ b_{0} = 3\\
b_{1} = 0\\
b_{2} = 13\ (a_{2} = 16)}\)
ze wzoru (*), a potem to samo \(\displaystyle{ b_{2}}\) ze wzoru (**), a z niego wychodzi
\(\displaystyle{ b_{2} = 12}\)

Jakoś nie mogę tego rozgryźć :/.

Gaus pewnie potrafiłby zrobić to w pamięci, ja nie.
PARI/GP> polcoeff(sum(i=0,35,x^i) * sum(i=0,25,x^(2*i)) * sum(i=0,12,x^(4*i)), 40)
time = 0 ms.
%1 = 117

Dzięki.. ale nie ma na to jakiegoś analitycznego/kombinatorycznego sposobu?

Swoją drogą, czego te kompiutery dziś nie wyrabiają.
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2} (4(1+n)^2-6 (1+n)-4(-1)^{n+1}+2^{n+1}+2)}\)

Nie zgadza się dla n=0.

dziwne, mojemu Excelowi się podoba 3,3,16,27,54,85,144,231,394,...
1/2 *(4* (n+1)^2-6* (n+1)-4 *(-1)^(n+1)+2^(n+1)+2)

Wszystko się zgadza, dzięki.

Jak obliczyć ten współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{40}}\) w pierwszym zadaniu?

Liczysz sumę postępu i rozwijasz w szeregi:
\(\displaystyle{ \left(1+x^{1}+x^{2}+...+x^{35}\right)\left(1+x^{2}+x^{4}+...+x^{50}\right)\left(1+x^{4}+x^{8}+...+x^{48}\right) = \\ \frac{1 - x^{35}}{1 - x}*\frac{1-x^{50}}{1-x^{2}}*\frac{1-x^{48}}{1 - x^{4}}}\)

dusiek, no dochodzę do postaci którą napisałeś na końcu. A jak uzyskać z tego ten mnie interesujący?