Strona 1 z 1
[Wielomiany] Szukany wielomian
: 22 paź 2006, o 15:51
autor: mol_ksiazkowy
Czy istnieje taki wielomian W(x), o współczynnikach całkowitych, ze wartość bezwzględna jaką przyjmuje dla trzech pewnych rónych liczb całkowitych jest równa 1, a mimo to ma on pewien piewriastek całkowity....?!
[Wielomiany] Szukany wielomian
: 22 paź 2006, o 20:50
autor: Rogal
Nie istnieje.
[Wielomiany] Szukany wielomian
: 16 wrz 2008, o 23:16
autor: Sylwek
Nie, wówczas dla pewnego k całkowitego mielibyśmy:
\(\displaystyle{ -1=0^2-1=((W(k))^2-1=(k-a)(k-b)(k-c)Q(k)}\), gdzie a,b,c są różnymi liczbami całkowitymi, Q(x) pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych (możemy tak wyłączać te nawiasy, gdyż \(\displaystyle{ (W(x))^2-1}\) jest wielomianem, więc możemy skorzystać z twierdzenia Bezout)
Zatem każda z liczb: (k-a), (k-b), (k-c) przyjmuje wartość 1 lub -1, skąd natychmiastowo wynika, że pewne dwie spośród liczb a,b,c są równe - sprzeczność z warunkami zadania.