Witam mam problem z pewnymi zadaniami oto ich treści:
1. Udowodnij, że złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją.
2. Pokaż, że symetria środka jest izometrią punktów
\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), \(\displaystyle{ (A ^{2}+B ^{2}>0)}\)
(obrazem prostej w tym przekształceniu jest prosta)
Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu. Z góry dziękuję.
symetria środkowa, translacja
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
symetria środkowa, translacja
Niech \(\displaystyle{ S_{1}(p_{1},q_{1}),S_{2}(p_{2},q_{2})}\) będą środkami symetrii. Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\). Jego obrazem w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest taki punkt \(\displaystyle{ P'(x_{1},y_{1})}\), że punkt \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\), zatem:
\(\displaystyle{ (p_{1},q_{1})=\left(\frac{x+x_{1}}{2},\frac{y+y_{1}}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2p_{1}-x \\ y_{1}=2q_{1}-y \end{cases}}\)
Analogicznie, obrazem punktu \(\displaystyle{ P'}\) w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ S_{2}}\) jest punkt \(\displaystyle{ P''}\) o współrzędnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=2p_{2}-x_{1} \\ y_{2}=2q_{2}-y_{1} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=(2p_{2}-2p_{1})+x \\ y_{2}=(2q_{2}-2q_{1})+y \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ \vec{q}=[2p_{2}-2p_{1},2q_{2}-2q_{1}]}\), wówczas punkt \(\displaystyle{ P''}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w translacji o wektor q (istnieje zatem translacja przekształcająca dowolny punkt na jego obraz w złożeniu wyżej opisanych symetrii środkowych - wystarczy, by wektorem przesunięcia był wektor q).
-- 18 maja 2010, 15:03 --
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\). Jego obrazem w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ (p,q)}\) jest punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2p-x \\ y_{1}=2q-y \end{cases}}\)
Możemy zatem zapisać równość:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{1}+2p \\ y=y_{1}+2q \end{cases}}\)
Rozważmy prostą \(\displaystyle{ Ax+By+C=0,A^{2}+B^{2} \neq 0}\). Dany punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) należy do jej obrazu w podanej symetrii, o ile punkt, którego jest obrazem, należał do prostej (czyli współrzędne tego punktu spełniały równanie tej prostej). Mamy stąd:
\(\displaystyle{ A(x_{1}+2p)+B(y_{1}+2q)+C=0}\)
\(\displaystyle{ Ax_{1}+2Ap+By_{1}+2Bq+C=0}\)
\(\displaystyle{ Ax_{1}+By_{1}+(2Ap+2Bq+C)=0}\)
i otrzymane równanie jest równaniem prostej.
\(\displaystyle{ (p_{1},q_{1})=\left(\frac{x+x_{1}}{2},\frac{y+y_{1}}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2p_{1}-x \\ y_{1}=2q_{1}-y \end{cases}}\)
Analogicznie, obrazem punktu \(\displaystyle{ P'}\) w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ S_{2}}\) jest punkt \(\displaystyle{ P''}\) o współrzędnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=2p_{2}-x_{1} \\ y_{2}=2q_{2}-y_{1} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=(2p_{2}-2p_{1})+x \\ y_{2}=(2q_{2}-2q_{1})+y \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ \vec{q}=[2p_{2}-2p_{1},2q_{2}-2q_{1}]}\), wówczas punkt \(\displaystyle{ P''}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w translacji o wektor q (istnieje zatem translacja przekształcająca dowolny punkt na jego obraz w złożeniu wyżej opisanych symetrii środkowych - wystarczy, by wektorem przesunięcia był wektor q).
-- 18 maja 2010, 15:03 --
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\). Jego obrazem w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ (p,q)}\) jest punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2p-x \\ y_{1}=2q-y \end{cases}}\)
Możemy zatem zapisać równość:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{1}+2p \\ y=y_{1}+2q \end{cases}}\)
Rozważmy prostą \(\displaystyle{ Ax+By+C=0,A^{2}+B^{2} \neq 0}\). Dany punkt \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) należy do jej obrazu w podanej symetrii, o ile punkt, którego jest obrazem, należał do prostej (czyli współrzędne tego punktu spełniały równanie tej prostej). Mamy stąd:
\(\displaystyle{ A(x_{1}+2p)+B(y_{1}+2q)+C=0}\)
\(\displaystyle{ Ax_{1}+2Ap+By_{1}+2Bq+C=0}\)
\(\displaystyle{ Ax_{1}+By_{1}+(2Ap+2Bq+C)=0}\)
i otrzymane równanie jest równaniem prostej.