Matematyka.pl

Mam wielką prośbę o pomoc w rozwiązaniu złożonego zadania z analizy matematycznej:
funkcja wygląda tak:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{13x^{2}-24}{5x^{2}-77}}\)

Mam tutaj obliczyć:
1. Dziedzinę i sprawdzić jej parzystość
2.Obliczyć punkty przecięcia z osiami: Ox i Oy
3.Obliczyć granice funkcji na krańcach przedziałów określoności dziedziny i zbadać ciągłość funkcji
4. Wyznaczyć asymptoty: poziome, pionowe i ukośne
5. Określić przedziały monotoniczności funkcji i znaleść ekstrema funkcji
POMOCY
to nie koniec moich zadań jakby ktoś był chetny to podam co dalej...dziękuję z góry za pomoc.

Pokaż jak liczysz, sprawdzimy. Jak czegoś nie wiesz to pytaj

1) Odrzucasz miejsca zerowe mianownika i masz dziedzinę. Co do parzystości:

wstawiasz pod argument (-x) i sprawdzasz: jeżeli f(-x)=f(x), jest to funkcja parzysta, jeśli f(-x)=-f(x), nieparzysta. Jeśli nie wyjdzie ani jedno ani drugie to funkcja nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

2) Pierwsza współrzędna punktu przecięcia z OX to miejsce zerowe funkcji. Druga współrzędna punktu przecięcia z OY to wartość funkcji w zerze.

3) Trzeba po prostu umieć liczyć granice, w tym zadaniu nie są one trudne. Jest to funkcja wymierna. Granicę należy policzyć w \(\displaystyle{ - \infty}\), \(\displaystyle{ + \infty}\) i po obydwu stronach punktów, które wypadły z dziedziny.

4. Asymptoty wynikają bezpośrednio z granic. Jeżeli w jakimś punkcie granica wynosi \(\displaystyle{ \infty}\), to w tym punkcie mamy asymptotę pionową (prawostronną, gdy taka jest granica prawostronna, lewostronną, gdy lewostronna, obustronną, gdy tyle wynosi granica w tym punkcie). Jeżeli granica funkcji w \(\displaystyle{ \infty}\) jest liczbowa (tzn. granicą jest liczba, a nie \(\displaystyle{ \infty}\)), to funkcja posiada tam (w danej nieskończoności) asymptotę poziomą.
Co do asymptoty ukośnej: jest to prosta o równaniu y=ax+b.
Istnieje tylko wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{x}=a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } (f(x)-ax)=b}\)

Chodzi o to, że pierwsza granica musi być liczbowa, czyli a musi być liczbą, gdy a będzie liczbą, b też będzie liczbą i otrzymamy współczynniki prostej będącej asymptotą ukośną. Jeśli a nie będzie liczbą, wykres nie posiada asymptoty ukośnej.

5. Należy policzyć pochodną. Sprawdzić czy jej dziedzina zgadza się z dziedziną funkcji pierwotnej (czy jakieś punkty nie wypadły). Następnie wyznaczanie ekstremum:

I. Warunek konieczny istnienia ekstremum w punkcie:
jeśli pierwsza pochodna funkcji w punkcie (w którym funkcja jest oczywiście różniczkowalna) się zeruje, punkt ten jest podejrzany o istnienie w nim ekstremum.

IIa Warunek wystarczający istnienia ekstremum w punkcie:
Jeśli pierwsza pochodna się w danym punkcie zeruje i następuje tzw. przejście znaku, tzn. jeżeli znak pochodnej przy przechodzeniu przez znalezione miejsce zerowe zmienia się, to funkcja ma w tym punkcie ekstremum.
Jeżeli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus jest to maksimum, jeżeli z minusa na plus - minimum.

możemy się też posłużyć takim warunkiem wystarczającym:

IIb Warunek wystarczający istnienia ekstremum w punkcie:
Jeżeli funkcja jest w danym punkcie dwukrotnie różniczkowalna i pierwsza pochodna się w nim zeruje, a druga jest różna od 0, w punkcie tym jest ekstremum funkcji.
Jeżeli druga pochodna jest dodatnia, jest to minimum, jeżeli ujemna - maksimum.

Co do przedziałów monotoniczności, sprawa jest prosta:
Funkcja jest rosnąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest dodatnia.
Funkcja jest malejąca tam, gdzie jej pierwsza pochodna jest ujemna.

Oto dość szczegółowy instruktaż tego przebiegu. Dalsze rozwiązania polecam inwencji autora. W razie pytań odpowiem (tutaj lubna gg).

własnie mam problem z obliczeniem tego, nie jest niestety dobra w matmie, a musze zrobić te zadania.
Dziedzina to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}\backslash\left\lbrace\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rbrace}\)???
a jak sprawdzić jej parzystość?

nie, dziedzine wyznaczasz inaczej, mianownik nie może być zerem, czyli rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ 5x ^{2}-77=0}\) i odrzucasz wyniki z dziedziny.

By stwierdzić, czy funkcja jest parzysta trzeba zbadać czy zachodzi równość \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)

czyli ile wyjdzie dziedzina??

Umiesz rozwiązywać równania kwadratowe? Napisałem co trzeba policzyć, ale bez równań kwadratowych nie ma co myśleć o badaniu przebiegu zmienności funkcji...

więc dziedzina to:
D=R{-\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{77}{5}}\)}, \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{77}{5}}\)}
i funkcja jest parzysta, bo f(-x)=f(x)
???

dokładnie tak, teraz możesz liczyć punkty przecięcia z osiami

miejsca przecięcia z osiami:
OŚ OX
f(x)=0, \(\displaystyle{ \frac{13x^2-8}{5x^2-77}}\)=0, 13\(\displaystyle{ x^{2}-8}\)=0, x=\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{8}{13} }}\), x= -\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{8}{13} }}\)
oś OY
wartośc funkcji f w x=0
f(0) = \(\displaystyle{ \frac{8}{77}}\)