Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}(a+b)}\)

Karmi pisze:\(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}(a+b)}\)

To nieprawda na przykład dla \(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{4}}\)

Jesteś pewna, że nie chodzi ci o nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}}\)
?

Q.

O tak, właśnie o to mi chodzi!
Po prostu nie wiedziałam, jak przedłużyć pierwiastek

obie strony nierówności są nieujemne, zatem możemy je podnieść do kwadratu:

\(\displaystyle{ a+b+2 \sqrt{ab} \le 2a+2b}\)

\(\displaystyle{ a+b-2 \sqrt{ab} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{a}- \sqrt{b})^2 \ge 0}\)

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb nieujemnych a, b.

Podpowiem, że jeśli w sytuacji gdy nie wie się jak napisać poprawnie treść zadania, pisze się treść innego zadania, to nie jest to strategia wygrywająca. :]

Majeskas - naprawdę musiałeś wklejać gotowca? Przecież wystarczyło dać wskazówkę.

Q.