Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie takich zadań:

1) W trójkącie równoramiennym ABC (AC=BC) wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość 4, AC=AB-1. Oblicz pole trójkąta.

2) Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o obwodzie 2p ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pole tego trójkąta.

3) Długość boków trójkąta ABC tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, przy czym AC < BC < AB. Wykaż, że \(\displaystyle{ r=\frac{1}{3h}}\), gdzie r jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, h jest długością wysokości poprowadzonej z wierzchołka A trójkąta.


thx

1/
Oznacz ramię trójkąta jako x, stąd podstawa będzie równa x+1.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy równanie:

\(\displaystyle{ 4x^2-(x+1)^2=4\cdot 16}\)

\(\displaystyle{ 3x^2-2x-65=0}\)

Liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\) i uwzględniasz tylko dodatnie rozwiązania (x=5).

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah\Longleftrightarrow P=\frac{1}{2}(5+1)\cdot 4=12}\)

2/
Może coś z tego pomoże:

P=pr, gdzie p to połowa obwodu, a r promień okregu wpisanego w trójkąt.

\(\displaystyle{ r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}}\), gdzie a to bok naprzeciw kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).

3/
\(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}}\), gdzie P to pole, a p to połowa obwodu trójkąta.
Rozpisując:

\(\displaystyle{ r=\frac{(\frac{1}{2}ah)}{\frac{1}{2}(a+b+c)}}\)

Skoro jest to ciąg arytmetyczny, a z opisu można wnioskować, że a to długość boku o średniej długości, mamy równość:

b+c=2a

Podstawiamy i mamy:

\(\displaystyle{ r=\frac{ah}{3a}=\frac{1}{3}h}\)