Strona 1 z 1
okrąg o środku o
: 12 maja 2010, o 15:35
autor: gaabryysiaa1992
W okręgu o środku w punkcie O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD. Z punktu A poprowadzono cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie N. Wyznacz kąt, jaki tworzy ta cięciwa ze średnicą AB, jeżeli w czworokąt OBMN można wpisać okrąg.
Może mi ktoś powiedzieć na jakiej podstawie trójkąt BON jest przystający do BMN.
okrąg o środku o
: 12 maja 2010, o 16:30
autor: Kartezjusz
Musisz przysłać mi rysunek, bo obawiam się,że punkty A M N są współliniowe...
okrąg o środku o
: 12 maja 2010, o 16:54
autor: lukasz1804
gaabryysiaa1992 pisze:(...) na jakiej podstawie trójkąt BON jest przystający do BMN
Ponieważ
\(\displaystyle{ AB\perp CD}\), to
\(\displaystyle{ OB\perp ON}\) i wobec tego trójkąt
\(\displaystyle{ BON}\) jest prostokątny. Ponadto
\(\displaystyle{ \angle BMN}\) jest kątem prostym jako kąt wpisany w okrąg oparty na jego średnicy (
\(\displaystyle{ AB}\)), więc trójkąt
\(\displaystyle{ BMN}\) jest także prostokątny.
Oczywiście trójkąty te mają wspólną przeciwprostokątną (
\(\displaystyle{ BN}\)).
Ponieważ w czworokąt
\(\displaystyle{ OBMN}\) można wpisać okrąg, to z twierdzenia o stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu na zewnątrz okręgu wynika, że
\(\displaystyle{ |ON|=|MN|}\) oraz
\(\displaystyle{ |OB|=|BM|}\).
Zatem trójkąty
\(\displaystyle{ BON, BMN}\) są przystające na mocy cechy bkb przystawania trójkątów.