Matematyka.pl

Witam wszystkich. Mam problem z znalezieniem zbieżności tego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln(1- \frac{1}{(n+1)^{2}})}\)
Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył. Próbowałem z kryterium całkowego ale wtedy się zakopałem. Drugie moje podejrzenie padło na kryterium porównawcze i dalej je obstawiam ale nie wiem jak to ruszyć.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty }\left|\frac{\ln \left(1-\frac{1}{(1+x)^2}\right)}{\frac{1}{(1+x)^2}}\right|=1}\)
Wniosek wyciągnij sam.

nie wiem czy to jest dobrze ale napisze to co zobaczyłem...

\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+1)^{2}} = \frac{(n+1-1)(n+1+1)}{(n+1)^{2}} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \ge \frac{n}{(n+1)^{2}}}\)

zmniejszamy licznik więc ułamek cały się zmniejsza, a i tak jest rozbieżny. później okładamy obustronnie logarytmem i widać że nasz szereg jest rozbieżny z kryterium porównawczego.

Kamilekzmc pisze:
zmniejszamy licznik więc ułamek cały się zmniejsza, a i tak jest rozbieżny. później okładamy obustronnie logarytmem i widać że nasz szereg jest rozbieżny z kryterium porównawczego.

Tego nie rozumiem

licznik jest na pewno mniejszy bo \(\displaystyle{ n \le n(n+2)}\) i ten mniejszy ułamek nadal jest rozbieżny... o ile mi wiadomo tona tym polega kryterium porównawcze...

Kamilekzmc rozumiem to co napisałeś i wydaje mi się że to jest dobry wynik ale skąd wiedziałeś że szereg należy zmniejszyć a nie zwiększyć?

to jest tylko i wyłącznie z doświadczenia... próbujesz jednym sposobem nie wychodzi nic to próbujesz innym... ja akurat spróbowałem tak i wyszło... ale nie zawsze mi wychodzi za pierwszym razem

Aha no ja uczyłem się wstępnego oszacowania. Po tym wstępnym oszacowaniu można wywnioskować czy należy zmniejszyć ułamek czy zwiększyć więc nie musiałem robić tego metodą prób i błędów ale w tym wypadku nie potrafię tego zrobić. No ale dzięki za pomoc.

Dobra, powiedz raczej z którym szeregiem ostatecznie porównujesz, nie chodziło mi o szacowanie.

porównywałem z \(\displaystyle{ ln( \frac{n}{(n+1)^{2}}}\)

Kamilekzmc, szacowanie z dołu przez minus nieskończoność jest raczej mało odkrywcze.