Matematyka.pl

1. Suma długości dwu boków trójkąta wynosi 4, a miara kąta pomiędzy tymi bokami 60°. Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta?

2. Wykaż, że w dowolnym trójkącie, którego boki mają długości a, b i c, zachodzi: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}(a+b+c)}{2}> \sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

3. Znajdź wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C , wiedząc, że AB = a, DE = b,
AB || DE oraz wysokość trójkąta CDE poprowadzona z wierzchołka C ma długość c.

4. Szerokość pierścienia kołowego wynosi 6 cm, a jego pole jest 6 razy większe od pola wewnętrznego koła. Oblicz obwody okręgów tworzących ten pierścień.
. Znajdź te wartości parametru m , dla których prosta y = x +m ma dwa punkty wspólne z okręgiem x^2+y^2 =2 .

1)Jeśli x oraz 4-x są bokami trójkąta położonymi pod kątem 60°, to zastosuj tw. cosinusów dla boku y leżącego na przeciw kąta 60°. Wówczas jego długość stanie sie funkcją kwadratową uzależniną od x. Poszukaj najmniejszej wartości tej funkcji, co da najmniejszą wartość boku y, a w konsekwencji najmniejszy obwód.

2)

\(\displaystyle{ \left{a+b>c\\b+c>a\\c+a>b}\) z nierownosci trojkata, wiec

\(\displaystyle{ \left{ca+bc>c^2\\ab+ca>a^2\\bc+ab>b^2}\), dodajac stronami:

\(\displaystyle{ 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2}\).

Przeksztalcajac rownowaznie dana nierownosc dostajemy:

\(\displaystyle{ 6(ab+bc+ca)>2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2}\), co konczy dowod.

zad.4.
\(\displaystyle{ R-r=6cm\\

P_{pierscienia}=6P_{kola \ malego}\\
\pi R^{2}-\pi r^{2}=6\pi r^{2}\\
R^{2}=7r^{2}\\
R=r\sqrt{7}\\
\\
R-r=6cm\\
r\sqrt{7}-r=6\\
r(\sqrt{7}-1)=6\\
r=\sqrt{7}+1\\
R=7+\sqrt{7}
L_{duzy}=2\pi R=(14+2\sqrt{7})\pi cm\\
L_{maly}=2\pi r=2\pi(\sqrt{7}+1)cm}\)

zad.5.
Wiemy, że \(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\). Dla y=x ma dwa punkty przecięcia i przechodzi przez środek okręgu. Wnioskując z tego, widzimy, że \(\displaystyle{ m\in (-\sqrt{2};\sqrt{2})}\).