Prawdopodobieństwo kombinatoryczne 6

[hubertg]

10 kulek umieszczamy losowo w 10 pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) dokładnie jedno pudełko pozostanie puste

b) dwa pudełka pozostaną puste a w jednym z pozostałych będą trzy kulki

Mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania?

[Kartezjusz]

Kulki i pudełka rozróżniamy.

[hubertg]

tego się domyślam ale nie wiem jak to zapisać kombinatorycznie ;/

[Kartezjusz]

Zapomniałem o pytajniku...

[hubertg]

tak - rozróżniamy kulki i pudełka

[JakimPL]

Naszym zdarzeniem elementarnym jest 10-wyrazowy ciąg przyporządkowań do pudełka \(\displaystyle{ (c_1,c_2,\ldots,c_{10})}\), gdzie \(\displaystyle{ c_i \in \lbrace 1,2,\ldots,10 \rbrace}\).

Stąd moc zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ 10^{10}}\).

Łatwo to zadanie wykonać regułą mnożenia.

a) Jedno pudełko jest puste. Zatem niech to będzie pierwsze pudełko. Mamy \(\displaystyle{ 10}\) kul i \(\displaystyle{ 9}\) pudełek. To znaczy, że wszystkich \(\displaystyle{ 9}\) musi być rozlosowanych do kolejnych pudełek, inaczej zostanie drugie i więcej pustych, co jest niepożądane. Ostatnia kula może być umieszczona w jednym z \(\displaystyle{ 9}\) miejsc. Wybierając inne puste pudełko, otrzymujemy \(\displaystyle{ 10}\) takich szeregów kombinacji. Stąd:

\(\displaystyle{ 10 \cdot 9}\).

b) Z kombinacji: wybieramy dwa pudełka z dziesięciu na \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) sposobów. Mamy \(\displaystyle{ 10}\) kul i \(\displaystyle{ 8}\) pudełek. Nie możemy zostawić trzeciego pudełka pustego, więc \(\displaystyle{ 8}\) kul leci na wypełnienie dalszych. Zostaną \(\displaystyle{ 2}\) i te dwie kule muszą znaleźć się w jednym z tych ośmiu miejsc:

\(\displaystyle{ {10 \choose 2}{8 \choose 1}}\)

Jeżeli się nie pomyliłem (co mi się często ostatnio zdarza), to powinno być ok.

[Majeskas]

Jak dla mnie to jest tak:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_{10}^{10}=10^{10}}\)

k1 - p1

k2 - p2

k3 - p3

.
.
.

k9 - p9

k10

Rozmieszczamy sobie kule od 1 do 9 w pudełkach od 1 do 9. Kulę 10 możemy wrzucić do jednego z 9 pudełek. Zatem na pojedynczą sytuację konkretnego rozmieszczenia dziewięciu kul, mamy 9 możliwości rozmieszczenia dziesiątej.
Takich rozmieszczeń 9 kul mamy tyle ile wariacji 9-elementowych zbioru 10-elementowego. Bo to jest tak, jak gdybyśmy nie ruszali pudełek, tzn. stałyby sobie w takim słupku od pierwszego do dziewiątego, a na kulach używalibyśmy wariacji bez powtórzeń (tzn. z 10 kul wybieralibyśmy 9 i ustawiali jakoś w słupku, przy czym kolejność w ustawieniu byłaby istotna i elementy, czyli kule, nie mogłyby się powtarzać).
Starałem się to z obrazować powyżej.

wtedy:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=9V_{10}^{9}=9* \frac{10!}{(10-9)!}=9*10!}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{9*10!}{10^{10}}= \frac{5103}{1562500}}\)

Wydaje mi się, że jest ok, ale prawdopodobieństwo to zawsze jedna wielka dyskusja, więc kto wie?

Masz może wynik?

-- 11 maja 2010, 21:27 --

b) analogicznie. Ustawiamy słupek. 8 kul od 1 do 8 wrzucamy do 8 pudełek. Zostaje para kul, którą na 8 sposobów możemy wrzucić do jakiegoś pudełka. Zaś tych sytuacji wrzucenia 8 kul do 8 pudełek będzie tyle co wariacji 8-elementowych zbioru 10-elementowego

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=8V_{10}^{8}=8* \frac{10!}{(10-8)!}= \frac{8*10!}{2}=4*10!}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{4*10!}{10^{10}}= \frac{567}{390625}}\)

Ciekaw jestem, czy dobrze myślę, a jeśli źle, to dlaczego. Także chętnie poznałbym wynik.
Pozdrawiam.

[JakimPL]

Ok, już wiem, nie rozróżniałem kul i ciągi \(\displaystyle{ (1,2,\ldots,10)}\) uznawałem za równoważne \(\displaystyle{ (10,9,\ldots,1)}\). Przy innej omedze (\(\displaystyle{ 10^{10}}\) bez permutacji tych samych układów). Moim zdarzeniem elementarnym zatem był ciąg przyporządkowań liczby kul do pudełek \(\displaystyle{ (c_1,c_2,\ldots,c_{10})}\), gdzie \(\displaystyle{ c_i \in \lbrace 1,2,\ldots,10 \rbrace.}\) o sumie \(\displaystyle{ 10}\).

Powyższe rozwiązanie wydaje się być dobre.

[Majeskas]

Nie wziąłem tylko pod uwagę jednej rzeczy. Założyłem w a), że puste będzie pudełko p10, a przecież puste może być jakiekolwiek z 10 pudełek.

zatem:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=10*9V_{10}^{9}=90* \frac{10!}{(10-9)!}=90*10!}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{90*10!}{10^{10}}= \frac{5103}{156250}}\)


b) ten sam błąd. Możliwości wyboru 2 pustych pudełek z dziesięciu jest tyle ile kombinacji 2-elementowych zbioru 10-elementowego.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=C_{10}^2*8V_{10}^{8}= {10 \choose 2}* 8* \frac{10!}{(10-8)!}= 45*\frac{8*10!}{2}=180*10!}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{180*10!}{10^{10}}= \frac{5103}{78125}}\)