Matematyka.pl

Oblicz pole powierzchni x²+y²+z²=R² wyciętej powierzchnią x²+y²=a² , a<R, a>0 z góry dzięki za pomoc

Jedną powierzchnią jest sfera, a drugą walec. Walec wycina z tej sfery dwie powierzchnie o takim samym polu, wystarczy więc obliczyć pole jednej części i pomnożyć przez 2.

Rozpatrzmy tą cześć dla dodatniego \(\displaystyle{ z}\). Pole płata \(\displaystyle{ S:\ z=f(x,y)}\) to z definicji całka powierzchniowa (niezorientowana), którą zamienia się na podwójną

\(\displaystyle{ \iint_S dS=\iint_D \sqrt{(f_x)^2+(f_y)^2+1}dxdy}\)

gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest rzutem \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ XOY}\).

U nas, po przekształceniu, równanie płata ma postać \(\displaystyle{ z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\) (bo ustaliliśmy, że \(\displaystyle{ z>0}\)), natomiast rzutem tego płata na \(\displaystyle{ XOY}\) jest koło \(\displaystyle{ x^2+y^2\le a^2}\) (bo płat znajduje się "we wnętrzu" walca). Teraz wystarczy obliczyć pochodne, zastosować podstawienie biegunowe i wstawić to wszystko do wzoru. Wychodzi łatwa całka do obliczenia.

Spróbuj sama, jeśli będziesz miała jeszcze problemy - pisz.

Pozdrawiam.