Matematyka.pl

Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ x>0}\), \(\displaystyle{ y>0}\) i \(\displaystyle{ x+y=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ y=1-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(1-x)}}\)
Wyrażenie to będzie najmniejsze, gdy mianownik będzie możliwie największy.
\(\displaystyle{ -x^{2}+x}\) ma byc największe
\(\displaystyle{ x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}}\)
Funkcja malejąca, więc jest to najwyższa wartośc. Obliczenie y teraz nie jest problemem.

głowiłem się nad tym zadaniem, aż znalazłem je tutaj
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}}\)
skąd się wziął taki wynik? nie rozumiem jak dokonano tego przekształcenia
wg jakich praw działań na liczbach? proszę o wytłumaczenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{y}{xy}+ \frac{x}{xy}= \frac{x+y}{xy}}\)

A że \(\displaystyle{ x+y=1}\) masz w treści zadania.

Zauważ, że korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{x+y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)

\(\displaystyle{ 2 \le \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4 \le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)

Czyli najmniejsza wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) wynosi 4.

Pozdrawiam.

Z Jensena dla \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = f(x) + f(y) \ge 2f(\frac{x+y}{2}) = 2f(\frac{1}{2}) = 4}\)