Klamry
\(\displaystyle{ \{ \}}\)
w texu robi się tak:
Teraz odnośnie zadania.
Geometrycznie nasz zbiór to
\(\displaystyle{ d}\)-wymiarowy sympleks ograniczony płaszczyznami
\(\displaystyle{ x_{i} = 0,\ i=1,\ldots, d}\) oraz
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{d}x_{i} = a.}\)
Z własności miary Lebesgue'a mamy
\(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = a^{d}\lambda(T_{d}(1)),}\) bo
\(\displaystyle{ T_{d}(a) = a\cdot T_{d}(1).}\)
Dla
\(\displaystyle{ d =1}\) zbiór
\(\displaystyle{ T_{d}(1)}\) jest odcinkiem
\(\displaystyle{ [0,1],}\) czyli ma miarę
\(\displaystyle{ 1.}\)
Teraz znajdziemy wzór rekurencyjny na
\(\displaystyle{ V_{d}:=\lambda^{d}(T_{d}(1))}\) i powyższy warunek początkowy pozwoli nam znaleźć postać jawną tego wzoru.
Znając
\(\displaystyle{ V_{d}}\) wyznaczamy
\(\displaystyle{ V_{d+1}}\) z twierdzenia Fubiniego/Tonellego/Cavalieriego, które pozwala nam zamieniać całki wielokrotne na iterowane.
W tym celu zauważmy, że cięcie/sekcja naszego zbioru przez płaszczyznę
\(\displaystyle{ x_{d+1}= c,}\) dla
\(\displaystyle{ 0\le c< 1}\) powstaje z cięcia dla
\(\displaystyle{ c = 0}\) (które jest równe
\(\displaystyle{ T_{d}(1)}\)) poprzez przemnożenie współrzędnych przez
\(\displaystyle{ (1-c)}\) i przesunięcie o wektor
\(\displaystyle{ (0,\ldots,0,c)}\), a dla pozostałych
\(\displaystyle{ c}\) cięcie to jest puste lub jednopunktowe - czyli ma miarę zero.
Z własności miary Lebesgue'a oznacza to, że miara naszego cięcia dla
\(\displaystyle{ 0\le c < 1}\) wynosi
\(\displaystyle{ (1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))}\)
Zatem ze wspomnianego twierdzenia mamy:
\(\displaystyle{ V_{d+1} = \int_{T_{d+1}(1)}d\lambda^{d+1} =\int_{0}^{1}\int_{T_{d}(1)}(1-c)^{d}\lambda^{d}\lambda^{1}(c)= \int_{0}^{1}(1-c)^{d}\lambda^{d}(T_{d}(1))d\lambda^{1}(c) =\\ = \lambda^{d}(T_{d}(1))\int_{0}^{1}(1-c)^{d}d\lambda^{1}(c)= \frac{1}{d+1}\lambda^{d}(T_{d}(1)) = \frac{1}{d+1}V_{d}}\)
Teraz korzystając z indukcji i równości
\(\displaystyle{ V_{1} = 1}\) otrzymujemy łatwo:
\(\displaystyle{ V_{d} = \frac{1}{d!}}\)
zatem ostatecznie
\(\displaystyle{ \lambda^{d}(T_{d}(a)) = \frac{a^{d}}{d!}}\)