Matematyka.pl

Mam pytanie do uczonych w piśmie -

Dlaczego ujemne parzyste liczby całkowite tj. -2,-4,-6... są zerami funkcji zeta Riemanna? Czy mógłby mi ktoś "rozpisać" jakiś przykład bym to zobaczył?

Z góry dzięki

plktrautman

czekasz jeszcze na odpowiedź czy już jest to dla ciebie nieważne ?

Dla potomnych. Można wykazać, że funkcję \(\displaystyle{ \zeta}\) można równoważnie zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ \zeta(s) = \pi^{s/2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}}\)

Skoro \(\displaystyle{ \Gamma(-n+1)=\infty}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), to stąd jasno widać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)}=0}\) dla \(\displaystyle{ s}\) postaci \(\displaystyle{ -2n}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).