Matematyka.pl

w ciagu arytmetycznym (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) dla dwoch różnych liczb naturalnych m, k mamy: \(\displaystyle{ a_{m}}\) = \(\displaystyle{ m^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{k}}\) = \(\displaystyle{ k^{2}}\). jaka jest różnica tego ciągu?

nie bardzo rozumiem jak to robić..

Bez straty ogólności załóżmy, że m>k
\(\displaystyle{ a_{m}=a_{1}+(m-1)r}\) , gdzie r jest różnicą tego ciągu.
\(\displaystyle{ a_{m}=a_{1}+mr-r}\)
\(\displaystyle{ a_{m}=a_{1}+(m-k)r+kr-r}\)
\(\displaystyle{ a_{m}=a_{1}+(k-1)r+(m-k)r}\)
\(\displaystyle{ a_{m}=a_{k}+(m-k)r}\)
\(\displaystyle{ a_{m}-a_{k}=(m-k)r}\)
\(\displaystyle{ m^{2}-k^{2}=(m-k)r}\)
\(\displaystyle{ (m-k)(m+k)=(m-k)r}\)
\(\displaystyle{ r=m+k}\)

skąd sie bierze 3 linijka?

\(\displaystyle{ a_{1}+mr-r+(kr-kr)}\)
to w nawiasie jest równe 0, więc mogę sobie dodac. A zrobiłem tak bo chciałem zapisac sobie a1 pod ak. To znaczy pozbyc się tego a1 i zamienic na znana wielkosc ak.

Artist pisze:\(\displaystyle{ a_{m}-a_{k}=(m-k)r}\)

Rozwiązanie można zacząć od tego miejsca, wszystko wcześniejsze nie jest potrzebne.

Q.

Można oczywiście. Aby było lepiej zrozumiałe można zcząc od:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{m}=a_{1}+(m-1)r \\ a_{k}=a_{1}+(k-1)r \end{cases}}\)
I teraz odejmując stronami otrzymac powyższą równośc.

Pozdrawiam.