Matematyka.pl

1. Schronisko młodzieżowe ma 40 pokoi, a wynajęcie pokoju kosztuje 120 zł. Grupy rezerwujące więcej niż 20 pokoi uzyskują zniżkę , za 20 pokoi płacą stałą cenę, natomiast za każdy następny 4 zł mniej.
a) uwzględniając powyższe warunki, oblicz dla jakiej liczby wynajętych pokoi schronisko uzyska maksymalny przychód.

Zadanie to kilkakrotnie pojawiało się na forum ale nie zostało rozwiązane. Teoretycznie wydaję się być łatwe, ale ... wskazówką do zadanie jest następująca \(\displaystyle{ P(x)= 20 \cdot 120 + x(120-4x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to liczba pokoi wynajętych powyżej \(\displaystyle{ 20}\)i \(\displaystyle{ x \in (0,20>}\).

Niestety licząc z takiego wzoru wychodzi nam że przykładowo dla \(\displaystyle{ 25}\) pokoi \(\displaystyle{ P(5)=20 \cdot 120+5(120-4 \cdot 5)= 2400 + 5 \cdot 100=2900}\)
Teraz spójrzmy na to tak: Cena pokoju numer 21 wynosi \(\displaystyle{ 116}\), numer 22 \(\displaystyle{ 112}\), numer 23 \(\displaystyle{ 108}\), ..., numer 40 \(\displaystyle{ 40}\) czyli koszt dla naszych \(\displaystyle{ 25}\) pokoi wyniesie \(\displaystyle{ 120 \cdot 20+116+112+108+104+100=2400+540=2940}\)

Domyślam się że ja popełniam błąd w rozumowaniu lub błąd jest w odpowiedziach, jednak prosiłbym aby ktoś to rozwiązał. Można to rozwiązać przy wykorzystaniu sumy na ciąg arytmetyczny ale jak wówczas policzyć maximum ?

we wskazówce jest błąd - liczą to tak jakby np dla 22 pokoi, była zniżka po 8 zł na każdy pokój ponad ilość 20, a nie na jeden 4 zł, a na drugi 8 zl

chociaż z drugiej strony to w zadaniu nie ma sformułowania 4 zł mniej niż za poprzedni, ale nie ma też że jest zniżka w wysokości 4 zł razy ilość pokoi ponad 20...

przy tym sformułowaniu bliżej chyba do interpretacji z ciągiem - napisz sobie wzór na ciąg wyrażający cenę pokoju tak, że \(\displaystyle{ a_1}\) to cena za pokój 21 itd.
Zapisz sobie sumę \(\displaystyle{ S_n}\) i wtedy całkowity koszt to: \(\displaystyle{ K(n)=120 \cdot 20 + S_n}\)

\(\displaystyle{ P(x)= 120 \cdot 20+\frac{2 \cdot 116-4(x-1)}{2} \cdot x}\) teraz chyba jest dobrze.

Niby nie ma, ale tak czy siak odpowiedz byłaby zła

taki jest wzór jeśli interpretujemy zadanie jako ciąg