Matematyka.pl

Czy ktoś mógłby mi dać jakieś wskazówki, jak zabrać się za te zadania? Nie wiem nawet, jak zacząć.

1. Wykaż, że każdą liczbę naturalną n można przedstawić jednoznacznie w postaci:
a) \(\displaystyle{ n=3^{i_{1}} \pm 3^{i_{2}}\pm...\pm3^{i_{s}}}\), gdzie \(\displaystyle{ i_{1},...,i_{s} \in N \cup {0}}\), \(\displaystyle{ i_{1}>i_{2}>...>i_{s}}\)

b) \(\displaystyle{ n=d_{1}\cdot1!+...+d_{k}\cdot k!}\), gdzie \(\displaystyle{ d_{i} \in N\cup{0}}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \le d_{i} \le i}\) dla każdego \(\displaystyle{ 1 \le i \le k}\).

2. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ k,l \in N}\), \(\displaystyle{ k \neq l}\), to istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że \(\displaystyle{ NWD(k+n,l+n)=1}\).

3. Niech \(\displaystyle{ ab=cd}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{NWW(a,c)NWW(a,d)}{NWW(a,b,c,d)}}\).

1b) Ja bym to robiła indukcyjnie, z krokiem indukcyjnym, że dla danego k każde \(\displaystyle{ n<k!}\) się da.
2. Wystarczy, żeby \(\displaystyle{ k+n}\) było względnie pierwsze z \(\displaystyle{ k-l}\) (dlaczego?). A to spełniają chociażby pierwsze \(\displaystyle{ n}\), większe od \(\displaystyle{ k-l}\).

1a) Wynika to z tego, że każdą liczbę naturalną można w sposób jednoznaczny przedstawić w systemie trójkowym.