Matematyka.pl

Jako, że to mój pierwszy post chciałbym się przywitać. Mam problem z takim zadaniem:

Dane jest równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x (x \in N)}\) i parametrem \(\displaystyle{ a (a \neq 0)}\):
\(\displaystyle{ 1+a+a ^{2}+a ^{3}+...+a ^{x} = (1+a)(1+ a^{2})(1+a ^{4})(1+a ^{8})(1+a ^{16})}\).
Wyznacz x.

Za wszelką pomoc dziękuje.

wymnóż obie strony równości przez \(\displaystyle{ (1-a)}\) a zobaczysz jak się ładnie wszystko uprości.

PS.powinno być raczej: \(\displaystyle{ 1+a+a ^{2}+a ^{3}+...+a ^{x} = (1+a)(1+ a^{2})(1+a ^{4})(1+a ^{8})(1+a^{16})}\)

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ 1+a+a ^{2}+a ^{3}+...+a ^{x}= \frac{a _{1}(1-q ^{n} )}{1-q}= \frac{1(1-a ^{n} ) }{1-a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-a ^{n} }{1-a}=(1+a)(1+ a^{2})(1+a ^{4})(1+a ^{8})(1+a ^{16})/ \cdot (1-a)}\)

\(\displaystyle{ 1-a ^{n} =(1-a ^{2} )(1+ a^{2})(1+a ^{4})(1+a ^{8})(1+a ^{16})}\)

\(\displaystyle{ 1-a ^{n} =(1-a ^{4} )(1+a ^{4})(1+a ^{8})(1+a ^{16})}\)

\(\displaystyle{ 1-a ^{n} =(1-a ^{8} )(1+a ^{8})(1+a ^{16})}\)

\(\displaystyle{ 1-a ^{n} =(1-a ^{16} )(1+a ^{16})}\)

\(\displaystyle{ 1-a ^{n} =1-a ^{32}}\)

\(\displaystyle{ a ^{n} =a ^{32} \Rightarrow n=32}\)

ok, dzięki za pomoc, wszystko pasuje

A można to zrobić tak, że końcowy wyraz \(\displaystyle{ a^x}\) jest równy pomnożeniu wszystkich wyrazów z prawej strony z \(\displaystyle{ a}\) w podstawie potęgi? Wtedy wychodzi x=31 i tak jest w odpowiedziach

nie widzę tego co chcesz zrobić najlepiej napisz.

a odp to \(\displaystyle{ x = 31}\)
\(\displaystyle{ n = 32}\) - to jest liczba wyrazów ciagu geometrycznego znajdującego sie po lewej stronie równania