Matematyka.pl

jak zrobić to :

Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,1998\}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x^2 + 19}\) jest podzielna przez:
a) \(\displaystyle{ 5}\),
b) \(\displaystyle{ 4}\),
c) \(\displaystyle{ 3}\)?

b)
nie będzie takich liczb

liczby poddzielne przez 4 sa parzyste

2x to liczba parzysta
19 l.nieparzysta

suma l.parzystej i nieparzystej jest zawsze nieparzysta

a)
zauważ ze dla minimalnego x podzielnosc zachodzi dopiero od 3 a dla maxymalnego od 1998

zauwazasz ze ta podzielnosc powtaza sie co 5 liczb

czyli dla 3,8,12

i masz coś takiego, bierzesz pod uwage max-min=1998-3=1995

teraz wieszz e co 5 sie powtarza wiec liczb jest 1995/5=199

podobnie z 3
min dla 1
max dla 1996

1996-1=1995

1995/3=665

arek pisze:jak zrobić to : Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,1998\}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x^2 + 19}\) jest podzielna przez:

a) 5

Co to znaczy, że liczba jest podzielna? To znaczy, że da się ją zapisać jako pewien iloczyn liczby \(\displaystyle{ k}\) i jakiejś liczby naturalnej.
(*) \(\displaystyle{ x+19 = 5\cdot k}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ x\in\{1..1998\}}\). Na podstawie tej dziedziny i równania(*), co wiemy o liczbie \(\displaystyle{ 5\cdot k}\)? Jest na pewno większa od \(\displaystyle{ 19}\).
\(\displaystyle{ 5\cdot k>19\\
k>19/5 }\)
(19/5 jest większe od 3)

A teraz sprawdźmy od czego 5\cdot k jest na pewno mniejsze:
\(\displaystyle{ 1998+19=2017\\
5\cdot k\le2017
k\le2017/5 }\)
(2017/5 jest większe od 403 ale mniejsze niż 404)

\(\displaystyle{ k\in\left\langle 4,403\right\rangle}\)
Odpowiedzią będzie liczba elementów tego zbioru.

C.
pzdrw.

Wszyscy się mylicie. A może ktoś tu źle przeczytał, niemniej jednak ja zrobię to z taką treścią:

Ile jest wszystkich liczb x należących do zbioru {1, 2, 3, 4, ... 1998} takich, że liczba x^2 + 19 jest podzielna przez:
a) 5
b) 4
c) 3

Jeśli przyszedłeś tu z linka z tematu ZBIÓR ZADAŃ TEORIA LICZB to to jest dobre rozwiązanie:
a)
\(\displaystyle{ 5|x^{2}+19}\) Oznacza, że cyfra jedności \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest jedynką albo szóstką.
Więc jakie liczby podniesione do kwadratu będą miały na końcu jedynkę albo szóstkę?
Na pewno \(\displaystyle{ 1^{2}}\) ma na końcu jedynkę. Tak samo \(\displaystyle{ 11^{2}, 21^{2}}\) i tak do \(\displaystyle{ 1991^{2}.}\)
I. 1, 11, 21,...,1991 (199 liczb)
Następnie zauważamy, że liczba z cyfrą jedności równą 4 podniesiona do kwadratu będzie miała 6 za cyfrę jedności.
II. 4, 14, 24,...,1994 (199 liczb)
Następnym szukanym ciągiem jest sekwencja z 6 na końcu.
III. 6, 16, 26,...,1996 (199 liczb)
I w końcu liczby z 9 na końcu, które podniesione do kwadratu będą miały 1 na końcu.
IV. 9, 19, 29,...,1989 (198 liczb) <- uwaga nie 199 ale 198 bo 1999 nie mieści się w naszym zbiorze.
Po zsumowaniu wartości w nawiasach otrzymamy wynik = 795.

b) Tego na razie nie wiem

c)
Żeby liczba była podzielna przez 3, suma jej cyfr musi być podzielna przez 3.
19 dzielone przez 3 daje resztę 1, więc \(\displaystyle{ x^{2}}\) musi dawać resztę 2.
Więc \(\displaystyle{ x^{2}}\) można zapisać jako 3k + 2, \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
Teraz widać, że nie istnieje taki x w ogóle w zbiorze liczb całkowitych, żeby dało się jego kwadrat zapisać w ten sposób.
Czemu?
I. Gdyby x = 3k, to \(\displaystyle{ x^{2} = 9k^{2}}\), co daje resztę 0, a nie 2.
II. Gdyby x = 3k+1, to \(\displaystyle{ x^{2} = 9k^{2} + 6k + 1}\), co daje resztę 1, a nie 2.
III. Gdyby x = 3k+2, to \(\displaystyle{ x^{2} = 9k^{2} + 12k + 4 = 9k^{2} + 12k + 3 + 1}\), co daje resztę 1, a nie 2.

Odp: 0

No jeżeli tam jest kwadrat, to podpunkt b) oznacza nie mniej nie więcej, tylko \(\displaystyle{ x^2\equiv -19\equiv 1 \pmod{4}}\), czyli \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)\equiv 0\pmod{4}}\), zatem każda nieparzysta liczba \(\displaystyle{ x}\) spełnia podzielność, czyli takich liczb jest 999.

Doodleman pisze: Na pewno \(\displaystyle{ 1^{2}}\) ma na końcu jedynkę. Tak samo \(\displaystyle{ 11^{2}, 21^{2}}\) i tak do \(\displaystyle{ 1991^{2}.}\)
I. 1, 11, 21,...,1991 (199 liczb)

Nie powinno być 200 liczb? W końcu w każdej setce jest 10 liczb ktore kończą się na 1, a jeśli mamy 1998 elementow to rozpoczynamy 20 setkę, a ostatnią liczba w setce z 1 na końcu jest oczywiscie ...91 wiec w kazdej z 20 setek wystepuje po 10 takich liczb.

Rozwiążmy to w sposób najbardziej (moim zdaniem) związany z teorią liczb.
a)
Reszty kw. \(\displaystyle{ \bmod 5}\) to: \(\displaystyle{ 1,4}\).
Jako, że: \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{5} \vee x \equiv 4 \pmod{5}}\)
W zadanym przedziale liczb spełniających ten warunek jest \(\displaystyle{ 799}\).
b)
Reszty kw. \(\displaystyle{ \bmod 4}\) to: \(\displaystyle{ 1}\).
Jako, że: \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{4} \vee x \equiv 3 \pmod{4}}\)
W zadanym przedziale liczb spełniających ten warunek jest \(\displaystyle{ 999}\).
c)
Reszty kw. \(\displaystyle{ \bmod 3}\) to: \(\displaystyle{ 1}\).
Jako, że: \(\displaystyle{ x^2+19 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow x^2 \equiv 2 \pmod{3}}\)
Jest to sprzeczne, gdyż \(\displaystyle{ 2}\) jest nieresztą kw. mod \(\displaystyle{ 3}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ 0}\) liczb.

Mateusz5324 - gratuluję, zostałeś Archeologiem Miesiąca.

JK