Matematyka.pl

Witam,
prosze o pomoc w rozwiazaniu zadania:
obliczyc, jezeli istnieja, granice funkcji:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{1-cos(x ^{2} +y ^{2}) }{(x ^{2} +y ^{2}) ^{2} }}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } (x^{2} +y^{2}) cos \frac{1}{xy}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (1,1) } \frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}-2}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,3) } \frac{sin x^{2}y}{x^{2}}}\)

a) Okreslona i ciagla w danym punkcie
b) Oszacuj
c) \(\displaystyle{ x_n=1+\frac{1}{n},\;y_n=1-\frac{1}{n}}\)
d) Skorzystaj z granicy w zerze ilorazu sin(x) przez x

hmm, mogłby ktos jasniej;) bo np gdy napisze na egzaminie oszacowany wynik bez obliczen to nie wiem czy uznaja. Najlepiej jakby mi ktos zaczal te przyklady, a ja skoncze;)

W a) próbowałbym przejść na granicę funkcji jednej zmiennej \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \rightarrow 2}\) podstawiam \(\displaystyle{ t:= x^2 + y^2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow 2} \frac{1 - cost}{t^2} = \frac{1-cos2}{2}}\), wtedy granica jest okreslona, ale szczerze mówiąc to poruszam się w tym temacie trochę po omacku i chciałbym potwierdzenia lub korekty od kogoś kto jest pewny.
Chętnie poznam też bardziej szczegółowe rozwiązania niż odpowiedź do pozostałych podpunktów.
Pozdrawiam!