Matematyka.pl

Witam.

Niech będą dane trzy współpękowe proste \(\displaystyle{ p, \ q, \ r}\).
1) Jak wyznaczyć punkt stały złożenia \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r}\), gdzie \(\displaystyle{ S_a}\) to symetria osiowa względem prostej \(\displaystyle{ a}\)?
2) Dowieść, że jeśli prosta \(\displaystyle{ m}\) jest taka, że \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r = S_m}\), to kąt skierowany pary prostych \(\displaystyle{ (m,p)}\) jest równy kątowi skierowanemu pary \(\displaystyle{ (r,q)}\).

Co do 1) - czy będzie to środek odcinka \(\displaystyle{ MM'}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) jest dowolnym punktem nie leżącym na danych prostych, a \(\displaystyle{ M'}\) to jego obraz w złożeniu \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r}\)? Większość znaków mi na to wskazuje, lecz mam problem z dowodem.

1. Punktem tym jest punkt wspólny prostych \(\displaystyle{ p,q,r}\)
2. Podpowiedź: złożenie dwóch symetrii osiowych jest obrotem
Podpowiedź 2: złożenie symetrii osiowej z samą sobą jest przekształceniem identycznościowym

1. Hm, tak, lecz będzie to raczej nie jeden punkt, ale cała prosta. Nie wiem, jak ją wyznaczyć...
2. Czy można to zadanie zrobić bez wyznaczenia prostej \(\displaystyle{ m}\)? Oraz czy obrót będący złożeniem dwóch symetrii osiowych można jakoś hm... zdefiniować, tzn. czegoś dowiedzieć się o kącie, o który obracamy?

patry93 pisze:czy obrót będący złożeniem dwóch symetrii osiowych można jakoś hm... zdefiniować, tzn. czegoś dowiedzieć się o kącie, o który obracamy?

Owszem można. Jeśli proste \(\displaystyle{ a,b}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), to złożenie symetrii względem prostych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest obrotem o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i kącie \(\displaystyle{ 2\alpha}\). (dowiedź tego, nie jest to trudne)

Znając ten fakcik zrobienie zadań powinno być łatwiejsze.