Matematyka.pl

Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie wpisanego w półkole o promieniu r = 2.

Źle przeczytałem treść zadania. Poniższe rozwiązanie dotyczy tego samego zadania, tyle że z pełnym kołem.

Jest to zadanie optymalizacyjne. Oznaczmy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jako boki tego prostokąta. Zauważmy, że promień tworzy połowę przekątnej tego prostokąta. Z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = r^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 4}\)

Musimy wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniające powyższy warunek, dla którego suma \(\displaystyle{ 2(a+b)}\) - obwód - jest największa. Wyznaczmy \(\displaystyle{ b}\) z warunku:

\(\displaystyle{ b^2 = 16 - a^2}\)

Skoro są to długości boków, to zawierają się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, a na tej podstawie:

\(\displaystyle{ b= \sqrt{16 - a^2}}\)

Niech nasza suma będzie funkcją:

\(\displaystyle{ f(a)=2(a+\sqrt{16 - a^2})}\)

I tu szukamy maksimum, do tego korzystamy z pochodnej i szukamy \(\displaystyle{ f'(a) = 0}\). Pamiętamy również o dziedzinie.

Oczywiście można to zrobić prościej. Już nawet intuicyjnie wiadomo, że to musi być kwadrat (udowodnić dlaczego).

Promień nie będzie połową przekątnej prostokata.

[/url]

\(\displaystyle{ x}\) - I bok prostokąta (\(\displaystyle{ x<4}\))
\(\displaystyle{ y}\) - II bok prostokąta (\(\displaystyle{ y<2}\))

\(\displaystyle{ (\frac{x}{2})^2+y^2=r^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+y^2=2^2 \Rightarrow y= \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ Ob=2(x+y)}\)
\(\displaystyle{ Ob(x)=2(x+ \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2})}\)
Musisz znaleźć \(\displaystyle{ x}\), dla ktorego funkcja \(\displaystyle{ Ob(x)}\) przyjmuje wartość największą.

Faktycznie, chodzi o półkole, a nie całe koło. Zwracam honor .