Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ J(\lambda, s_{1}),J(\lambda, s_{2}),...,J(\lambda, s_{t}),}\) będą tymi klatkami jordanowskimi macierzy Jordana które odpowiadają wartości \(\displaystyle{ \lambda,}\)
\(\displaystyle{ s_{i}}\) oznacza rozmiar wybranej klatki
Jak dowieść że \(\displaystyle{ s_{1}+s_{2}+...+s_{t}}\) jest krotnością \(\displaystyle{ \lambda}\) jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego.

Wielomian charakterystyczny macierzy Jordana wynosi (K jest "resztą" macierzy powstałej przez wyrzucenie wszystkich wierszy i kolumn zawierających klatki dla \(\displaystyle{ \lambda}\)):
\(\displaystyle{ W(\xi)=\left(\prod\limits_1^t\det (J(\lambda,s_i)-\xi I)\right)\det(K-\xi I)=\\
\left(\prod\limits_1^t(\lambda-\xi)^{s_i}\right)\det(K-\xi I)=
(\lambda-\xi)^{\sum s_i}\det (K-\xi I)}\)
Stąd \(\displaystyle{ \xi=\lambda}\) jest krotności \(\displaystyle{ s_1+\ldots+s_t}\)