Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) dany jest wzorem \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1+2+3+...+ 2n}{3n}}\) \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
a) Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny
b) Sprawdź że ciąg ( \(\displaystyle{ a_{1} , a_{7} +2, a_{44} + 2}\) jest geometryczny

Podpunkty a i b wiem jak zrobić tylko nie wiem jak zapisać ten ciąg w prostrzej formie \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Suma liczb od jeden do n wynosi
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\)

nadal nie kminie ;/

licznik jest równy:
\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + ... + 2n = \frac{2n(2n + 1)}{2}}\)

skąd to wziąłeś i w jaki sposób ma mi to pomóc? ;| Niestety nadal nie rozkminiam <faiL> ;D

goho pisze: Podpunkty a i b wiem jak zrobić tylko nie wiem jak zapisać ten ciąg w prostrzej formie \(\displaystyle{ a_{n}}\)

A więc, żeby zapisać w prostszej formie robię następująco:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1+2+3+...+ 2n}{3n} = \frac{\frac{2n(2n+1)}{2}}{3n}=\frac{n(2n+1)}{3n}=\frac{2n+1}{3}}\)

A mój licznik wygląda tak \(\displaystyle{ \frac{n(2n+1)}{2}}\) a u Ciebie jest jescze 2n przed nawiasem i sie zastanawiam skąd to masz ; /

Czytaj uważnie:
\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}}\)
Czyli:
dla \(\displaystyle{ z = 2n}\)
\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 + ... + z = \frac{z(z + 1)}{2}}\)
i dając 2n zamiast z dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{2n(2n+1)}{2}}\)

Aaaa ok już łapę Thanx-- 26 kwi 2010, o 17:12 --Dobra uzasadniłem że ciąg jest arytmetyczny poprzez \(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} = (wyszło mi \frac{2}{3}}\) ale nie wiem jak zrobić podpunkt b ;/

Robicie błąd, bo jeśli \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1+2+3+...+2n}{3n} \ dla \ n \ge 1}\) to ciąg w liczniku zaczyna się od dwójki, a nie od jedynki.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1+2+3+...+2n}{3n}= \frac{1+ \frac{n(2+2n)}{2} }{3n}= \frac{1+n(n+1)}{3n}= \frac{ n^{2} +n+1}{3n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{ (n+1)^{2}+n+1+1 }{3(n+1)}= \frac{ n^{2}+3n+3 }{3(n+1)}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}- a_{n}= \ ?}\) nie potrafię tego policzyć

tryptofan91 pisze: \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1+2+3+...+2n}{3n}= \frac{1+ \frac{n(2+2n)}{2} }{3n}= \frac{1+n(n+1)}{3n}= \frac{ n^{2} +n+1}{3n}}\)

Zgodnie z tym wzorem dla n=2 zachodzi:
\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{6} = \frac{7}{6}}\)
W liczniku jest po postu suma liczb od jeden do 2n włącznie i nie rozumiem Twojego toku rozumowania.
Co do podpunktu b
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, gdy środkowa jest iloczynem dwóch skrajnych