Matematyka.pl

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 8 cm i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(\displaystyle{ h}\) - wysokośc ostrosłupa (przyprostokątna leżąca naprzeciew kąta \(\displaystyle{ 30^o}\))
\(\displaystyle{ d}\) - przekątna podstawy (połowa przekątnej podstawy to przyprostokątna leżąca przy kącie \(\displaystyle{ 30^o}\))
\(\displaystyle{ k=8}\) - krawędź boczna (przeciwprostokątna)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta \(\displaystyle{ 30^o}\) stopni jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Obliczam \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{1}{2}k}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{1}{2} \cdot 8}\)
\(\displaystyle{ h=4 cm}\)

Obliczam \(\displaystyle{ d}\)
Z twierdzenia Pitagorasa
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}d)^2+h^2=k^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}d^2+4^2=8^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}d^2+16=64}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}d^2=64-16}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}d^2=48}\)
\(\displaystyle{ d^2=192}\)
\(\displaystyle{ d=8 \sqrt{3} cm}\)

Oblicza \(\displaystyle{ P_p}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{d^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{(8 \sqrt{3})^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{192}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_p= 96 cm^2}\)

Obliczam \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} P_ph}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ V=128 cm^3}\)