Nierówność z wartością bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 12:40

\(\left|x+4 \right| + \left| x\right| > 1\) Jak to rozwiązać?

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Lbubsazob » 25 kwie 2010, o 12:46

Rozwiąż w 3 przedziałach: 1) \(\left(-\infty, -4 \right)\) 2) \(\left<-4,0 \right)\) 3) \(\left<0, \infty \right)\)

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: mat_61 » 25 kwie 2010, o 12:48

Wskazówka: Rozwiąż tą nierówność w trzech przedziałach: \(1. \ x \in (- \infty ;-4) \\ 2. \ x \in <-4;0) \\ 3. \ x \in <0; \infty )\) Edit: Przegapiłem, że jest już wskazówka do tego zadania.

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 12:55

Może tak: Wiem jak rozwiązać \(\left| x+4\right| >1\) \(x+4>1 \vee x+4 < -1\) jak rozrysować i opisać rozwiązanie. Nie umiem połączyć tych dwóch wartości bezwględnych.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Lbubsazob » 25 kwie 2010, o 13:02

Dla \(x \in \left(-\infty, -4 \right)\) równanie ma postać: \(-x-4-x>1\). Dla \(x \in \left<-4,0 \right)\) - \(x+4-x>1\). Dla \(x \in \left<0, +\infty \right)\) - \(x+4+x>1\). Rozwiąż te 3 nierówności.

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 13:24

Wiem że \(x \in R\) ale nie umiem tego logicznie pokazać w rozwiązaniu.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Lbubsazob » 25 kwie 2010, o 13:29

Pierwszy przedział: \(-2x-4>1 \\ -2x>5 \\ x<-2,5\) Ale przedział jest \(\left(-\infty, -4 \right)\), więc wszystkie liczby spełniające ww. równanie należą do przedziału. Drugi: \(x+4-x>1 \\ 4>1\) no to logiczne, że \(x \in R\) Trzeci: \(x+4+x>1 \\ 2x>-3 \\ x>-1,5\) A w przedziale są same liczby dodatnie i zero, więc znowu wszystkie spełniają nierówność. In conclusion, \(x \in R\).

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 13:37

Dzięki za pomoc! Mam jeszcze takie pytanie jeżli ta nierówność wyglądała by inaczej np tak \(\left| x+4\right| + \left|x-2 \right| > 1\) Jak określać te przedziały i jak to pokazać w obliczeniach. Bardzo proszę o dokładne wyjasnienie, zgóry dziękuję.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Lbubsazob » 25 kwie 2010, o 13:40

1) \(\left(-\infty, -4 \right)\) 2) \(\left<-4, 2 \right)\) 3) \(\left<2, +\infty \right)\) Robisz na tej samej zasadzie.

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 13:44

Jak się ustala te przedziały jeśli są dwie wartośc bezwzględne np \(\left| x+4\right| lub \left| x-2\right|\) i jak to się później oblicza i analizuje?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8690
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: miki999 » 25 kwie 2010, o 13:47

Sprawdza się miejsca zerowe modułów. W Twoim przypadku jest to \(-4\) i \(2\), więc wyznaczamy kolejno przedziały przelatując przez wszystkie możliwości od \(- \infty\) i otrzymujemy to, co napisała Lbubsazob. Pozdrawiam.

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 13:56

Czy miejsca zerowe zawsze zapisujemy ża należą do przedziału? Dlaczego w jednym przedziale nie należy a w drugim należy?

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Lbubsazob » 25 kwie 2010, o 14:02

Chodzi Ci o to, dlaczego w jednym jest np. \(\left(-\infty, -4 \right)\), a w drugim \(\left<-4, +\infty \right)\)? Bo zgodnie z definicją wartości bezwzględnej \(\left| x+4\right|= \begin{cases} x+4 dla x \ge -4 \\ -x-4 dla x<-4 \end{cases}\). Wobec tego tam, gdzie mniejsze, przedział jest otwarty, a tam, gdzie większe - domknięty.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8690
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: miki999 » 25 kwie 2010, o 14:10

Jeżeli mamy wyrażenie w wartości bezwzględnej, to zastanawiamy się czy jest ona mniejsza czy większa od \(0\) (i odpowiednio zmieniamy znak gdy mamy wartość ujemną pod modułem). Do którego z przedziałów należy wartość graniczna nie jest istotne, bo zawsze zeruje ona ten moduł. Zatem mogłyby one wyglądać tak jak wyżej: 1) \((-\infty, -4 )\) 2) \(\langle -4, 2 )\) 3) \(\langle 2, +\infty )\) Ale równie dobrze moglibyśmy napisać: 1) \((-\infty, -4 \rangle\) 2)\((-4, 2\rangle\) 3) \((2, +\infty )\) Umówiono się, że jeden z końców przedziału domykamy, a drugi zostawiamy otwarty, bo w przeciwnym razie: - gdyby oba były otwarte to byśmy pomijali jedną wartość, - a gdyby oba były domknięte to niejako byśmy 2 razy sprawdzali tę samą liczbę, co wydaje się zbędne. Pozdrawiam.

urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: urchin » 25 kwie 2010, o 14:13

dzięki! już trochę jaśniej Pozdrawiam Mam jeszcze pytanie jak się tworzy te równania do rozwiązania - zmienia znaki każej wartości bezwzględnej, jaka jest tu zasada? -- 25 kwi 2010, o 15:19 --
Dla \(x \in \left(-\infty, -4 \right)\) równanie ma postać: \(-x-4-x>1\). Dla \(x \in \left<-4,0 \right)\) - \(x+4-x>1\). Dla \(x \in \left<0, +\infty \right)\) - \(x+4+x>1\). Rozwiąż te 3 nierówności.
Proszę wyjaśnijcie mi jeszcze jak są tworzone te nierówności, jak się ustala znak - lub + przed składnikami wyjściowa nierówność jest \(\left|x+4 \right|+ \left|x \right| >1\) a póxniej znaki się zmianiają ale jaka jest zasada? np tu \(x+4-x>1\) lub tu \(-x-4-x>1\) ?

ODPOWIEDZ