Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli liczba naturalna n jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 6, to liczba postaci \(\displaystyle{ n^2+7}\) jest podzielna przez 8.

nie wiem jak to chwycić, w ogóle jak te liczby zapisac ;/

hm to jest liczba podzielna przez 3 a nie podzielna przez 6? podniosłem do kwadratu, dodalem 7 i nic

Jak to nic? Mi pięknie wyszło, podnosisz, dodajesz i nie widzisz czegoś? Spróbuj wyłączyć coś przed nawias.

No jest podzielna przez trzy:
\(\displaystyle{ 6k+3 = 3(2k+1)}\)
A to, że nie jest podzielna przez sześć chyba widać (pierwsza liczba nie daje reszty przy dzieleniu przez sześć, druga - resztę trzy).

Zaś zadanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 8)}\)
Podzielność przez cztery jest oczywista, wystarczy więc dowieść parzystości nawiasu.
Jako że ostatni składnik (ósemka) jest parzysty, to dla parzystości konieczna i wystarczająca jest parzystość \(\displaystyle{ 9k^2 + 9k}\) (jako że suma dwóch liczb parzystych jest zawsze parzysta), więc:
\(\displaystyle{ 9k^2 + 9k = 9k(k+1)}\)
Jeżeli k jest parzyste, to całość też, jeżeli nie - to k+1 jest parzyste, i wtedy całość znowu jest parzysta.

No dobrze, w takim razie wykazaliśmy, że liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) i przez \(\displaystyle{ 2}\). Ale to przecież to nie gwarantuje podzielności przez \(\displaystyle{ 8}\). Liczba \(\displaystyle{ 20}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 2}\) a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\). Jak to rozumieć?

VanHezz pisze: 10 lip 2021, o 16:55 No dobrze, w takim razie wykazaliśmy, że liczba jest podzielna przez 4 i przez 2.

Wykazaliśmy, że liczba jest iloczynem \(\displaystyle{ 4}\) i liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 2}\). To trochę co innego.

To na czym polega ta różnica, bo ja właśnie w tej kwestii kuleję i mnie to blokuje. Wiem, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez inną liczbę \(\displaystyle{ b}\), która jest iloczynem dwóch innych dzielników \(\displaystyle{ a}\), ale które to dzielniki są względnie pierwsze. Dlatego nie wiem kiedy mogę oceniać podzielność danej liczby za pomocą takich iloczynów jak wyżej, a kiedy się to kłóci z tą zasadą o względnie pierwszych dzielnikach.

Liczbę \(\displaystyle{ 9k^2+9k+8}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ 2m}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ m}\). Zatem liczba o której mowa jest postaci \(\displaystyle{ 4\cdot 2m=8m}\) czyli jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).

Można też zauważyć, że

a \(\displaystyle{ \text{NWD}(72,72,16)=8 }\). Oczywiście zawsze \(\displaystyle{ k(k-1)/2\in\ZZ}\).

Tak na marginesie:

Althorion pisze: 18 kwie 2010, o 19:47 \(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 8)}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 4)}\)

Oczywiście w zadaniu niewiele to zmienia.