Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
gg1985
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 sty 2006, o 14:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stąd
Podziękował: 1 raz

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: gg1985 » 14 paź 2006, o 19:49

Witam

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że liczba przekatnych w wielokącie wypukłym o n bokach, \(\displaystyle{ n\geq 3}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)

Pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
qsiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 15 kwie 2006, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 18 razy

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: qsiarz » 14 paź 2006, o 20:40

narysuj dowolny wielokat, najlepiej taki zeby sie nie zamykal (lamana) i poprowadz z kazdego wierzcholka przekatna, jest ich n-3, poniewaz dotycza one kazdego wierzcholka oprocz wybranego i jego najblizszych sasiadow. teraz robisz cos takiego dla kazdego wierzcholka, wiec mamy n(n-3). na koniec zauwazasz ze kazda przekatna policzyles dwa razy i masz wynik sprawdzony.

gg1985
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 sty 2006, o 14:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stąd
Podziękował: 1 raz

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: gg1985 » 15 paź 2006, o 16:16

Ale to nie będzie wtedy dowód indukcyjny.

marbuk22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 16 paź 2006, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: strzegom

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: marbuk22 » 16 paź 2006, o 19:18

\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Weźmy sobie czworokąt
1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=4
\(\displaystyle{ \frac{4(4-3)}{2} = 2}\)
Prawda
2. Założenie Indukcyjne \(\displaystyle{ k\geq4}\)
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}}\)
3. Teza indukcyjna
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2}}\)
4. Dowód Tezy
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2} = \frac{k^{2}-2k+k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
Aby uzyskać wielokąt k+1 dodajemy k-2 przekątnych

\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}+(k-1)=\frac{k^{2}-3k}{2}+\frac{2k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
co należało udowodnić

Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n=4 wykazaliśmy, że z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k\geq4}\) wynika prawdziwość twierdzenia dla k+1 zatem na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\geq4}\),\(\displaystyle{ n N}\)

gg1985
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 sty 2006, o 14:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stąd
Podziękował: 1 raz

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: gg1985 » 17 paź 2006, o 15:53

Coś się chyba pomyliłeś. Chodzi o ostatnią linijkę, jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2, a do obliczeń wziąłeś k-1. Np. trójkąt ma zero przekątnych, dodajemy jeden bok i mamy kwadrat, który ma dwie przekatne, czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: Sir George » 18 paź 2006, o 10:02

gg1985 pisze:jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2
... plus dodatkowa przekątna, którą staje się bok k-kąta (łączący te wierzchołki "pomiędzy" które wstawiam k+1 wierzchołek)
gg1985 pisze:czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.
Nie, bo w tym przypadku k=3

Simong
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 17:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieliczka
Podziękował: 170 razy
Pomógł: 7 razy

Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

Post autor: Simong » 26 paź 2006, o 19:04

marbuk22 pisze:3. Teza indukcyjna
Teza musi być zdaniem logicznym, a to nie jest zdanie, proszę o poprawę tego bo ja nei weim jak to poprawic

ODPOWIEDZ