Matematyka.pl

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x-m^{3}+2m^{2}+3m-8)(x-8)}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których ten wielomian ma dokładnie 2 różne miejsca zerowe.

Chyba kiedyś robiłam podobne zadanie.
Jak masz wielomian \(\displaystyle{ W(x)= \left( x-2\right) \left(x-8 \right) \left(x-m^3+2m^2+3m-8 \right)}\), to musisz się pozbyć tego trzeciego nawiasu, żeby zostało Ci \(\displaystyle{ W(x)= \left(x-2 \right) \left( x-8\right)}\).
\(\displaystyle{ x-m^3+2m^2+3m-8}\) można inaczej zapisać \(\displaystyle{ x- \left( m^3-2m^2-3m+8\right)}\).

Wiadomo, że 2 i 8 są pierwiastkami wielomianu, więc musisz rozpatrzeć 2 przypadki:
1) \(\displaystyle{ m^3-2m^2-3m+8=2}\)
2) \(\displaystyle{ m^3-2m^2-3m+8=8}\)

Ale wtedy będą w sumie trzy rozwiązania tylko ze jedno podwójne.

Jak rozwiążesz te 2 równania, to sprawdzisz, dla jakiego m nawias będzie równy 0, a wtedy 2 i 8 nie będą rozwiązaniami. Powinny wyjść 4 wartości m.