Matematyka.pl

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cosx}\).
c)Wyznacz wszystkie wartości \(\displaystyle{ t \in <-\pi, \pi>}\), dla których równanie \(\displaystyle{ log_{\frac{1}{3}}(x+1)-log_{\frac{1}{3}}x-f(2t)=0}\) ma rozwiązanie

Próbuje to rozwiązać tak:
\(\displaystyle{ cos2t=log_{\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x} \Rightarrow log_{\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x} \ge -1 \wedge log_{\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x} \le 1}\)
Ale nie za bardzo mi wychodzi. Może robie gdzieś błąd? A może w ogóle zły sposób.

Dziękuje za wytłumaczenie

Zauważmy, że \(\displaystyle{ x+1>x}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x}>1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Stąd i z monotoniczności funkcji logarytmicznej wynika teraz, że \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x}<\log_{\frac{1}{3}}1=0}\). Należy zatem rozważać tylko te wartości parametru \(\displaystyle{ t\in\langle -\pi,\pi\rangle}\), dla których \(\displaystyle{ -1\le\cos 2t<0}\).