Kilka równań różniczkowych liniowych

[TheBizarre]

Witam,

Mam problem z kilkoma przykładami dotyczącymi w/w równań. Za każdym razem zatrzymuję się na całkach, których nie potrafię policzyć (lub też używam złego sposobu przy rozwiązywaniu). Proszę o pomoc.


Sposób całkowania:

Mamy równanie postaci:

\(\displaystyle{ y'=a(x)y+b(x)}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int a(x) dx, B(x)=\int b(x)e^{-A(x)} dx}\)

Wszystkie rozwiązania dane są wzorem:

\(\displaystyle{ y(x)=(B(x)+\gamma)e^{A(x)}}\)

Wszystko wydaje się schematyczne. 3 przykłady zrobiłem, ale tutaj się gubię.

1) \(\displaystyle{ x'=x \tg t+\cos^{-3}t}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int \tg t dt=\int \frac{\sin t}{\cos t} dt=\ln|\cos t|}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\int \cos^{-3}t*e^{-\ln|\cos t|} dt=}\) ?

2) \(\displaystyle{ x'=\ln t*x+3t^{3}(\ln t)^{2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int \ln t dt=\ln t*t-t}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\int 3t^{3}(\ln t)^{2}*e^{t-\ln t*t} dt=}\) ?

3) \(\displaystyle{ x'=x*\tg t+\frac{2t}{\cos t}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int \tg t dt=\ln |\cos t|}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\int \frac{2t}{\cos t}*e^{-\ln|\cos t|} dt=}\) ?

4) \(\displaystyle{ x'=-xe^{t}*t+e^{(1-t)*e^{t}}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int e^{t}*t dt=e^{t}*(t-1)}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\int e^{(1-t)*e^{t}}*e^{(1-t)*e^{t}} dt=2\int e^{(1-t)*e^{t}} dt=}\) ?

5) \(\displaystyle{ x'=\frac{2}{t}*x+t^{3}\cos t}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\int \frac{2}{t} dt=2\ln |t|}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\int t^{3}\cos t*e^{-2\ln |t|} dt=}\) ?

[Qń]

Wzór może i poprawny, ale paskudny. W równaniach liniowych o wiele lepiej jest na przykład użyć metody uzmienniania stałej. Na przykładzie pierwszego zadania:

1) Pomijamy część niejednorodną (czyli \(\displaystyle{ b(x)}\)) :
\(\displaystyle{ x' = x \tg t \\
\frac{dx}{x}=\tg t dt \\
\int \frac{dx}{x}= \int \tg t dt \\
\ln |x| = -\ln | \cos t| + C}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{C}{\cos t}}\) (*)

2) Uzmienniamy stałą \(\displaystyle{ C=C(t)}\) i różniczkujemy ostatnie równanie:
\(\displaystyle{ x' = \frac{C'}{\cos t} + \frac{C \sin t}{\cos^2 t}}\)

3)Wstawiamy dwie ostatnie równości do wyjściowego równania:
\(\displaystyle{ \frac{C'}{\cos t} + \frac{C \sin t}{\cos^2 t} = \frac{C}{\cos t} \tg t + \frac{1}{\cos^3 t}}\)
Jeśli nie ma błędu rachunkowego, to wyrażenie z samym \(\displaystyle{ C}\) musi się skrócić (i tu istotnie się skraca):
\(\displaystyle{ \frac{C'}{\cos t} = \frac{1}{\cos^3 t} \\
C' = \frac{1}{\cos^2 t} \\
C = \int \frac{1}{\cos^2 t} = \tg x + c}\)

4) Wstawiamy otrzymaną wartość \(\displaystyle{ C}\) do (*)
\(\displaystyle{ x = (\tg x +c ) \cdot \frac{1}{\cos t} = \frac{\sin t}{\cos ^2 t} + \frac{c}{\cos t}}\)
I to już jest wynik.

Q.

[TheBizarre]

Dziękuję za pomoc. Udało mi się tą metodą rozwiązać trzy z powyższych przykładów. Mam jednak wciąż problem z przykładami nr 2) i 5). W obu przypadkach dochodzę do całki w punkcie 3) i nie wiem jak sobie z nią poradzić. Oto co uzyskuję:

2) \(\displaystyle{ C=\int \frac{3t^{3}\ln^{2} t}{e^{\frac{1}{2}t^{2}\ln t-\frac{1}{4}t^{2}}}dt}\)

5) \(\displaystyle{ C=\int \frac{t^{3}\cos t}{e^{\frac{1}{4}t^{2}}}dt}\)

Być może robię coś nie tak wcześniej. Jednak z drugiej strony w pozostałych przypadkach wychodziły bardzo proste do policzenia całki.

[Bieniol]

Oj Radek..

W 2) źle policzyłeś \(\displaystyle{ A(t)}\). Powinno być:

\(\displaystyle{ A(t) = - ln|cost|}\)

W związku z tym dalej masz:

\(\displaystyle{ B(t) = \int \frac{2t}{cost} \cdot e^{ln|cost|} dt = \int \frac{2t}{cost} \cdot |cost| dt}\)

Co już jest raczej proste

W 5) sobie troszkę utrudniłeś.

\(\displaystyle{ A(t) = 2ln|t|}\)

\(\displaystyle{ B(t) = \int t^3 \cdot cost \cdot e^{-2ln|t|} dt = \int t^3 \cdot cost \cdot \frac{1}{t^2} dt = \int t \cdot cost dt}\)

Przez części i masz wynik Ta metoda wcale nie jest jakaś "skomplikowana"..