Matematyka.pl

Jak w temacie. Jaka to liczba? Jak to wykazać? Z góry dzięki!

Najwięcej dzielników mają liczby postaci \(\displaystyle{ n=k!}\). Wystarczy znaleźć taką liczbę, mniejszą od 1000. (znaleźć naturalne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ k!<1000}\)).

Najprościej metodą prób i błędów

A dowodem tego jest to, że liczbę k! można przestawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej. Każdy z czynników jest dzielnikiem tej liczby. Nie istnieje liczba, która miałaby więcej dzielników niż czynników (pierwszych lub złożonych) Stąd szukana liczba ma postać k!.

archimedes pisze:Najwięcej dzielników mają liczby postaci \(\displaystyle{ n=k!}\). Wystarczy znaleźć taką liczbę, mniejszą od 1000. (znaleźć naturalne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ k!<1000}\)).

Najprościej metodą prób i błędów

A dowodem tego jest to, że liczbę k! można przestawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej. Każdy z czynników jest dzielnikiem tej liczby. Nie istnieje liczba, która miałaby więcej dzielników niż czynników (pierwszych lub złożonych) Stąd szukana liczba ma postać k!.

Niestety to rozumowanie jest błędne. Widać to już dla liczb dwucyfrowych.
4!=24 < 100 i 5!=120 > 100.
Natomiast liczby 60, 72, 84, 90 i 96 mają więcej dzielników niż 24

Można się zastanowić, przy jakich ograniczeniach między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) najwięcej dzielników ma wielokrotność silnii (tutaj rekordzistka to \(\displaystyle{ 840}\)). Pouczająca może być lektura , gdzie znaleźć możemy informację (całkiem oczywistą), że wysoce złożone liczby dzielą się przez kolejne liczby pierwsze (bez pomijania żadnej).

Rozwiązanie omawianego problemu można znaleźć np. tutaj:

... rochal.pdf