Matematyka.pl

Kula o danym promieniu R i stożek mają równe objętości. Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większa od pola jego podstawy. Oblicz wysokość stożka.
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3} \pi r^2h}\)

\(\displaystyle{ \pi r l=3 \pi r^2}\)
\(\displaystyle{ l=3r}\)
Z rysunku (stożek i prostokąt trójkątny) wyliczam h
\(\displaystyle{ h^2+r^2=9r^2}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt8 r}\)

Podstawiam do równania
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} R^3 = \frac{1}{3} r^2 \sqrt8r}\)
\(\displaystyle{ 4R^3=\sqrt8 r^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{4R^3}{\sqrt8}=r^3}\)

\(\displaystyle{ r= \sqrt[3]{\frac{4R^3}{\sqrt8}}= \frac{\sqrt[3]{4}R}{\sqrt2}}\)
\(\displaystyle{ h= 2\frac{\sqrt[3]{4}R}{\sqrt2}}\)

Wiem, że w zadaniu mam błąd ale nie potrafię go znaleść. Prawidłowa odpowiedź to
\(\displaystyle{ h=2\sqrt[3]{4}R}\)
proszę napisać gdzie zrobiłem błąd. Dzięki

\(\displaystyle{ 4R^{3=2\sqrt{2}r^{3}}}\)

\(\displaystyle{ 2R^{3}=\sqrt{2}r^{3}}\)

\(\displaystyle{ r^{3}=\frac{2R^{3}}{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ r^{3}=\frac{2\sqrt{2}R^{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ r^{3}=\sqrt{2}R^{3}}\)

\(\displaystyle{ r=R\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ h=2\srt{2}R\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)

i teraz zapisałam to w inny sposób:

\(\displaystyle{ h=2^{1}*2{\frac{1}{2}}*(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}R}\)

\(\displaystyle{ h=R\sqrt[3]{32}}\)

\(\displaystyle{ h=R2\sqrt[3]{4}}\)

hmm no tak, a czy może mi ktoś pokazać gdzie w moim zapisie jest błąd?

\(\displaystyle{ h=\sqrt8 r}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt8 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}R}{\sqrt2}}\)
\(\displaystyle{ h=2\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}R}{\sqrt2}}\)
\(\displaystyle{ h=2R\sqrt[3]{4}}\)