Matematyka.pl

Witam

Mam problem z takim zadaniem

Niech f: \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R}\)
bedzie funkcja dwoch zmiennych oraz
\(\displaystyle{ \phi(r,s,t) = f(r*(s+t),r*(s-t)), \phi : R^{3} \rightarrow R}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ \phi \prime (1,2,1)}\) jeśli \(\displaystyle{ \frac {\sigma f} {\sigma x}}\) \(\displaystyle{ (3,1) = 4}\)
\(\displaystyle{ \frac {\sigma f} {\sigma y}}\) \(\displaystyle{ (3,1) = -5}\)

Pochodna w przestrzeni trzech zmiennych funkcji \(\displaystyle{ \phi (r,s,t)}\) musi dana być z pomocą gradientu

\(\displaystyle{ \phi ^{\prime} (r,s,t)=\left(\right\begin{array}{ccc}\frac{\partial \phi}{\partial r} & \frac{\partial \phi}{\partial s} & \frac{\partial \phi}{\partial t}\end{array})}\).

Oblicz odpowiednie pochodne, zauważając, iż zmienne r, s, t są funkcjami zmiennych x, y, czyli np. pochodna po r w punkcie \(\displaystyle{ P_0 = (r_0, \, s_0, \, t_0) = (1, \, 2, \, 1)}\) da się zapisać jako

\(\displaystyle{ \left.\frac{\partial \phi}{\partial r}\right|_{P_0} = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}\right|_{P_0} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}\right|_{P_0} = 4\cdot (s_0 + t_0 ) -5\cdot (s_0 - t_0)=4\cdot 3 - 5\cdot 1 = 7}\).

Teraz analogicznie oblicz pozostałe pochodne.