Matematyka.pl

Ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź boczna wynosi 5cm a przekątna podstawy 8cm, przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy przechodzącą przez środek wysokości ostrosłupa. Oblicz objętość części, na które ta płaszczyzna podzieliła ostrosłup.


\(\displaystyle{ d=a \sqrt{2} \Rightarrow a=4 \sqrt{2}\\H^{2}+4^{2}=5^{2}\\H^{2}=9 \Rightarrow H=3\\
Pp=a^{2}=32cm^{2}\\V_{c}= \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3=32cm^{2}\\}\)
\(\displaystyle{ H:a \Rightarrow 3:4 \sqrt{2} \ i \ \frac{3}{2}:x\\3x=6 \sqrt{2} \Rightarrow x=2 \sqrt{2} \Rightarrow x=a\\Pp _{1}=8cm^{2}\\V_{1}= \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \frac{3}{2}=4cm^{2}}\)

Nie wiem teraz jak obliczyć drugą objętość. I czy to zadanie w ogóle jest dobrze?

Skoro obliczyłeś \(\displaystyle{ V_{c}}\) oraz \(\displaystyle{ V_{1}}\), to przecież wystarczy odjąć od objętości całego ostrosłupa objętość jednej z części żeby obliczyć objętość drugiej części.

Tak na marginesie, to można było skorzystać z tego, że jeżeli dwie bryły są podobne w skali k, to stosunek ich objętości wynosi \(\displaystyle{ k^{3}}\). Skoro w tym zadaniu k=2 (wiesz dlaczego?) to stosunek objętości całego ostrosłupa do części będącej "małym" ostrosłupem wynosi 8. Tym samym skoro objętość całego ostrosłupa wynosi 32, to objętość tej "małej" odciętej części wynosi 32:8=4 a objętość większej części 32-4=28.

hm nie mam pojęcia dlaczego k=2 ale dzięki za pomoc, że też nie wpadłam na to żeby odjąć

k=2 bo to jest skala podobieństwa tych dwóch brył tzn. całego ostrosłupa i tej małej odciętej części także będącej ostrosłupem.
Nie wiem czy już uczyłaś się o podobieństwie ale chodzi o to, że ten duży ostrosłup - mówiąc potocznie - ma taki sam kształt ale jest dwa razy większy od tego małego. Znaczy to, że wszystkie krawędzie są dwa razy dłuższe, zachowane są odpowiadające sobie kąty.
W tych podobnych ostrosłupach stosunek długości odpowiadających sobie krawędzi (np. wysokości) wynosi k, czyli 2. Stosunek odpowiadających sobie powierzchni (np. powierzchni podstaw) wynosi \(\displaystyle{ k^{2}}\) czyli 4, natomiast stosunek objętości wynosi \(\displaystyle{ k^{3}}\) czyli 8.