Matematyka.pl

Wykazać, że w każdej przestrzeni probabilistycznej prawdziwa jest teza:
Jeśli zdarzenie A i B są niezależne, zdarzenia A i C są niezależne oraz \(\displaystyle{ B \cap C = \emptyset}\) to zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B \cup C}\) są niezależne.

Zał:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ P(A \cap C)=P(A) \cdot P(C) \\ B \cap C= \emptyset}\)
Teza:
\(\displaystyle{ P(A \cap (B \cup C))=P(A) \cdot P(B \cup C)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ P(A \cap (B \cup C))=P((A \cap B) \cup (A \cap C))=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P((A \cap B) \cap (A \cap C))=P(A) \cdot P(B)+P(A) \cdot P(C)-P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot (P(B)+P(C))-P(A \cap \emptyset)=P(A) \cdot (P(B)+P(C))=P(A) \cdot (P(B)+P(C)-P(\emptyset))=P(A) \cdot (P(B)+P(C)-P(B \cap C))=P(A) \cdot P(B \cup C)}\)