Matematyka.pl

Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

\(\displaystyle{ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)}\)

Iloczyn kartezjański to \(\displaystyle{ \times}\) : Zachodzi. Zaczynasz tak:
\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle\in A\times(B\cup C) \Leftrightarrow x\in A\land y\in B\cup C\Leftrightarrow \dots}\)

JK

Chyba załapałem.

Jak mam udowodnić kolejne

\(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\)

to mam zacząć tak? :

\(\displaystyle{ <x,y> \in A \cap (A \times C) \Leftrightarrow x\in A \land (x\in B \land y \in C)}\) ?

Dargi pisze:Chyba załapałem.

Jak mam udowodnić kolejne

\(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\)

to mam zacząć tak? :

\(\displaystyle{ <x,y> \in A \cap (A \times C) \Leftrightarrow x\in A \land (x\in B \land y \in C)}\) ?

Nie.

Masz się chwilę zastanowić, by zrozumieć, dlaczego zależność ta w ogólności nie musi zachodzić, a następnie podać kontrprzykład (czyli konkretne zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których ta równość nie zachodzi).

JK

Problem w tym, że nie rozumiem jak z tymi iloczynami kartezjańskimi sobie radzić. Jakby były same iloczyny kartezjańskie to jeszcze jeszcze by jakoś poszło ale jak mam do tego jeszcze funktory logiczne to się gubie.

Wizualizuj... Np. iloczyn kartezjański dwóch zbiorów można sobie narysować na płaszczyźnie (analogicznie jak dla podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, tyle, że bez osi współrzędnych...). Pamiętaj, tu nie ma przepisów - to trzeba zobaczyć/zrozumieć.

W przykładzie \(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\) Twój niepokój powinien wzbudzić fakt, że nie bardzo jest to jak narysować. To oczywiście o niczym nie przesądza, ale powinno dać do myślenia.

A możliwy kontrprzykład to np. \(\displaystyle{ A=B=C=\{\emptyset\}}\)

JK

Właśnie sobie rysowałem i nie mogłem tego narysować tej lewej strony. A z tego co piszesz to \(\displaystyle{ {\emptyset} \neq {\emptyset} \times {\emptyset}}\) ?

Dargi pisze:A z tego co piszesz to \(\displaystyle{ \{\emptyset\} \neq \{\emptyset\} \times \{\emptyset\}}\) ?

Po pierwsze, nawiasy klamrowe to "{" i "}" - inaczej nie wiadomo, o co chodzi...
Po drugie, twierdzę, że

\(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap (\{\emptyset\} \times \{\emptyset\})\neq(\{\emptyset\}\cap \{\emptyset\})\times(\{\emptyset\}\cap \{\emptyset\})}\),

gdyż
1. \(\displaystyle{ \{\emptyset\} \times \{\emptyset\}=\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}}\)
2. \(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}=\emptyset}\)
3. \(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap \{\emptyset\}= \{\emptyset\}}\)
4. \(\displaystyle{ \emptyset\neq\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}}\)

JK