Matematyka.pl

Z urny, w której znajduje się 20 kul białych i 2 kule czarne, losujemy n kul. Znajdź najmniejszą wartość n taką, przy której prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednej kuli czarnej jest większe od 0,5.

\(\displaystyle{ | \Omega |=C^n_{22}={22 \choose n}= \frac{22!}{n!(22-n)!}}\)
Dla n=1 prawdopodobieństwo jest oczywiście mniejsze niż 0,5 więc możliwość, że n=1 odpada.
Dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ |A|=C^1_2+C^2_2=3}\)
\(\displaystyle{ P(A)=3 \cdot \frac{n!(22-n)!}{22!}}\). Jako, że P(A)>0,5 to \(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{n!(22-n)!}{22!}>0,5\:\:\:\frac{n!(22-n)!}{22!}>\frac{1}{6}}\). W odpowiedziach jest wynik n=7. Czyli \(\displaystyle{ \frac{7! 15!}{22!} 0,00000586}\).
A to jest oczywiście mniejsze niż 1/6. Gdzie popełniłem błąd?

Martyn1 pisze:Gdzie popełniłem błąd?

Tutaj:

Martyn1 pisze:Dla \(\displaystyle{ n\ge2}\) zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ |A|=C^1_2+C^2_2=3}\)

Nie uwzględniasz tego, co się dzieje z pozostałymi kulami...
Powinno być
\(\displaystyle{ |A|\ =\ C^1_2\cdot C^{n-1}_{20}\, +\, C^2_2\cdot C^{n-2}_{20}\ =\ \frac{20!(43-n)}{(n-1)!(22-n)!}}\)

Dostajesz zatem
\(\displaystyle{ P(A)\ =\ \frac{n(43-n)}{462}}\), co rzeczywiście daje rozwiązanie \(\displaystyle{ n\ \ 7}\)



... poprawiłem ...

Sir George pisze:

Martyn1 pisze:Gdzie popełniłem błąd?

Tutaj:

Martyn1 pisze:Dla \(\displaystyle{ n\ge2}\) zdarzeń sprzyjających jest \(\displaystyle{ |A|=C^1_2+C^2_2=3}\)

Nie uwzględniasz tego, co się dzieje z pozostałymi kulami...

Fakt. Pierwszy raz widzialem zadanie ze losujemy n kul i to mnie zmylilo.

Powinno być
\(\displaystyle{ |A|\ =\ C^1_2\cdot C^{n-1}_{18}\, +\, C^2_2\cdot C^{n-2}_{18}\ =\ \frac{20!(43-n)}{(n-1)!(22-n)!}}\)

A dlaczemu \(\displaystyle{ C^{n-1}_{18}\;i\;C^{n-2}_{18}}\) a nie \(\displaystyle{ C^{n-1}_{20}\;i\;C^{n-2}_{20}}\)? Przecież kul białych jest 20.

Jak by się dało jeszcze to pokaż przekształcenie |A| bo nie wiem jak wymnozyc te silnie.

Martyn1 pisze:
A dlaczemu \(\displaystyle{ C^{n-1}_{18}\ i\ C^{n-2}_{18}}\) a nie \(\displaystyle{ C^{n-1}_{20}\ i\ C^{n-2}_{20}}\)? Przecież kul białych jest 20.

Jak by się dało jeszcze to pokaż przekształcenie |A| bo nie wiem jak wymnozyc te silnie.

Jasne,... to mi się coś pochrzaniło, że wszystkich kul jest 18...

Teraz chyba już łatwo będzie sprawdzić wynik... ?

\(\displaystyle{ |A|=C^1_2 \cdot C^{n-1}_{20}+C^2_2 \cdot C^{n-2}_{20}=2 \cdot {20 \choose n-1} + {20 \choose n-2}=2 \cdot \frac{20!}{(n-1)!(21-n)!}+\frac{20!}{(n-2)!(22-n)!}=\\=\frac{2 \cdot 20! \cdot (22-n)}{(n-1)!(22-n)!}+\frac{20! \cdot (n-1)}{(n-1)!(22-n)!}=\frac{2 \cdot 20! \cdot (22-n)+ 20! \cdot (n-1)}{(n-1)!(22-n)!}}\)
I co dalej?

Martyn1 pisze:I co dalej?

W liczniku wyłączasz przed nawias 20!
\(\displaystyle{ \ldots\ =\ \frac{20!}{(n-1)!(22-n)!}\cdot\Big(2(22-n)+(n-1)\Big)\ =\ \frac{20!(43-n)}{(n-1)!(22-n)!}}\)

Jak coś dalej niejasne, to pytaj bez oporów...

Wszystko jasne, ale po drodze wpadłem na pomysł, że można A policzyć z 1-A'. Wtedy wszystko ładnie się skraca i łatwo idzie

A mi sie wlasnie nie chce skrócić . Dochodze do \(\displaystyle{ \frac{20! n! (22-n)!}{22! n! (20-n)!}}\) po skracaniach mam w nieskracalnej postaci \(\displaystyle{ \frac{(21-n)(22-n)}{21 * 22}}\)

Po przyrównaniu tego do 1/2 wychodzi mi rownanie kwadratowe z niewymiernym pierwiatkiem delta :/

Ktoś wie gdzie pochrzanilem ? |A| to \(\displaystyle{ 20 \choose n}\) tak ?

no mnie też tak wychodzi, czyli po prostu trzeba zaokrąglić? jak w przybliżeniu pierwiastki równania wyszły \(\displaystyle{ n=6,5}\) i \(\displaystyle{ n_2=51,5}\) to wtedy trzeba pierwszą liczbę naturalną większą od mniejszego pierwiastka (\(\displaystyle{ 6,5}\)) czyli ?\(\displaystyle{ n\geqslant 7}\)

witam:) tez wlasnie robie to zadanie, i doszedlem do tego ułamka 20!(43-n) itd, ale nie mam pojecia jak to skrocic;/ moglby mi to ktos wytlumaczyc?