Matematyka.pl

???

Przyjmijmy bez straty ogólności że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\) mamy 3 różne ściany a co za tym idzie 3 możliwości sklejenia, intuicja podpowiada że pole będzie największe gdy skleimy ścianami axb a najmniejsze gdy bxc ale trzeba napisać wzory na te PP

Niech polami ścian bocznych prostopadłościanu będą \(\displaystyle{ x,y,z}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 < x \leq y \leq z}\). Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ P_0= 4(x+y+z)-x}\) oraz \(\displaystyle{ P_1= 4(x+y+z)-z}\). Pokażemy, że:
\(\displaystyle{ 1 \leq \frac{4(x+y+z)-x}{4(x+y+z)-z} < \frac{4}{3}}\)

Lewa nierówność jest oczywista i oczywiste jest też, że nie można jej poprawić (dla sześcianu jedynka jest osiągana). Prawa nierówność też jest łatwa, nieoczywiste jest tylko to, że jest ona optymalna, to znaczy, że istotnie rzeczony stosunek pól może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Zauważmy jednak, że dla prostopadłościanów o wymiarach \(\displaystyle{ n^2 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{n^3}}\) rzeczony stosunek dąży do \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), co oznacza, że rzeczony stosunek może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\), więc lepiej oszacować się nie da.

Q.