Matematyka.pl

Podstawa trojkata równoramiennego i wysokosc opuszczona na podstawę mają równe dlugosci.Wyznacz cosinus kąta przy podstawie.

Chyba łatwe ale nie mam pomyslu . Z góry dziękuje. Pozdrawiam

Kąta .

Z treści zadania mamy, że \(\displaystyle{ a=h}\). Narysuj sobie ten trójkąt (oczywiście wraz z wysokością) i zauważ, że powstanie Ci trójkąt prostokątny złożony z połowy podstawy, wysokości oraz drugiego boku całego trójkąta. Najpierw wyznaczmy, ile wynosi tangens, gdyż możemy to szybko policzyć:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{h}{\frac{a}{2}}}\)

Skoro \(\displaystyle{ a=h}\):

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{a}{\frac{a}{2}} = 2}\)

Wiemy także, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha }}\). Dopiszmy jeszcze jedynkę trygonometryczną, a powstanie układ, który należy rozwiązać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\cos \alpha = \sin \alpha \\ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{cases}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 5\cos^2 \alpha = 1}\)

I ostatecznie, wiedząc, że kąt jest ostry:

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}}\)

Można też było z twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć przeciwprostokątną i podstawić do stosunku w cosinusie. Tak byłoby prościej i chyba szybciej, ale chyba warto znać dodatkową metodę .

Odświeżam temat bo nie wiem jak zostało wyliczone \(\displaystyle{ 5cos^2 \alpha =1}\) z tego układu równań ? Dzięki

Podstawiano za sinusa do drugiego równania - otrzymane z pierwszego.