Matematyka.pl

Witam,

Napotkałem na taki problem. Mam wzór rekurencyjny pewnego ciągu i chciałbym go przedstawić jako wzór z użyciem n. Kiedyś na matematyce nauczycielka wspomniała tylko, że można dowieść indukcyjnie równoważność dwóch wzorów, ale do tego musiałbym znać oba.

Moje pytanie brzmi: czy można w jakiś sposób przejść z wzoru rekurencyjnego w wzór na n-ty wyraz ciągu, jeśli tego wzoru wcześniej nie znam?

Proszę o każdą pomoc. Możecie mnie też odesłać do jakiejś literatury, bo niestety sam nie wiem gdzie szukać, a w googlach kiepsko mi wychodzi znajdowanie tej informacji.

Pozdrawiam

Wypisuję kilka kolejnych wyrazów i szukam prawidłowości według której zmieniają się kolejne wyrazy (nie biorę pod uwagę jednego, dwu początkowych bo są to często szczególne przypadki). Sprawdzam odkrytą prawidłowośc, zapisuję jako wzór ogólny i dowodzę go indukcyjnie.

Dzięki wb.
Zauważyłem zatem pewną prawidłowość, ale nie wiem jak ją indukcyjnie udowodnić. Chciałbym wykazać równoważność wzorów:

a1=1
an=2*a(n-1)-(-1)^n

an=(2^n-(-1)^n)/3

Nie chodzi mi nawet o samo rozwiązanie, ale o sposób, jak to zrobić, ponieważ na razie indukcyjnie udowadniałem tylko równoważność jakichś dwóch wzorów ogólnych lub podzielność, a z ciągami nie miałem styczności.

Pozdrawiam

Proszę o zapoznanie się z TeX-em.
Wiemy, że \(\displaystyle{ a_{1}=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}-(-1)^n}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{ 2^n -(-1)^n }{3}}\).
1. Spr. dla n=1 - wiadomo
2. Zał. ind. : \(\displaystyle{ a_{k}=\frac{ 2^k -(-1)^k }{3}}\)
Teza ind. :\(\displaystyle{ a_{k+1}=\frac{ 2^{k+1} -(-1)^{k+1} }{3}=\frac{ 2^{k+1} + (-1)^k }{3}}\)
D-d:
\(\displaystyle{ a_{k+1}=2a_{k} -(-1)^{k+1}=2 \frac{ 2^k -(-1)^k }{3} +(-1)^k= \\ \frac{2}{3} 2^k - \frac{2}{3}(-1)^k + \frac{3}{3} (-1)^k=\frac{2^{k+1}}{3} + \frac{1}{3}(-1)^k=\frac{2^{k+1} +(-1)^k}{3}}\)

ooooo, świetna sprawa, bo robi się to analogicznie do innych dowodów A nie chciało mi wyjść, bo nie pomnożyłem sobie raz przez 2 ??:

a co zrobić, jeśli we wzorze rekurencyjnym mam odwołanie nie tylko do poprzedniego wyrazu \(\displaystyle{ a_{n-1}}\), ale też do wyrazu \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) . Wtedy już się tak ładnie nie podstawia, bo np. jak podstawię za \(\displaystyle{ a_{n}}\) w dowodzie to dalej zostanie mi \(\displaystyle{ a_{n-1}}\)

tak sobie próbuję ćwiczyć, ale w tym przypadku nic mi nie wychodzi:

\(\displaystyle{ a_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a{n}=2a_{n-1}+4a_{n-2}}\)

Wykaż że powyższy wzór jest równoważny takiemu:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{(1+\sqrt5)^{n}+(1-\sqrt5)^{n}}{2}}\)

Da się w ogóle takie rzeczy indukcyjnie dowodzić?? Czy może jest jakiś inny sposób na to? Pomóżcie.

Oczywiście że się da - chyba każdy wzór na n-ty wyraz ciągu w postaci jawnej można udowodnić indukcyjnie (na podstawie danych wartości i wzoru rekurencyjnego). Da się również rozwiązywać rekurencje liniowe (postaci \(\displaystyle{ x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}}\)), ale o tym to już musisz poszukać - wstukaj w szukajce forumowej "rekurencja" lub "rekurencje" lub "równanie rekurencyjne" (czy coś w tym stylu - wiem ze było to już parę razy ) i looknij na serwis (hasło "recurrence equation" itp.)

Takie zadania bardzo łatwo rozwiązuje sie z wykorzystaneim funkcji tworzących.
Warto poczytać ksiażkę Graham, Knuth, Patashnik "Matematyka konkretna". Jeśli ktoś "odświeży" ten temat to mogę pokazać jak się to robi. Nie trzeba dużej wiedzy:), ale przydaje się tabelka podstawowych ciągów i ich funkcji tworzących.
Metoda nie polega ani na odgadnięciu wzoru, ani na jego udowodnieniiu- wzór na n-ty wyraz ciagu sam wyskakuje.