\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+xy+xyz=12\\y+yz+yzx=21\\z+zx+zxy=30 \end{array}\right.}\)
dla \(\displaystyle{ x,y, z \in \RR}\)
[Równania] Jeszcze jeden układ
: 26 mar 2010, o 00:32
autor: Wolfik
Spróbuj z Wyznaczników.
[Równania] Jeszcze jeden układ
: 26 mar 2010, o 19:33
autor: Elvis
Mam dość bezmyślne rozwiązanie.
Ukryta treść:
Oczywiście żadna z liczb nie jest równa zero. Z drugiego równania \(\displaystyle{ 1+y+yz = 22-xyz}\), a z pierwszego \(\displaystyle{ x(1+y+yz)=12}\), więc: \(\displaystyle{ x(22-xyz)=12 \Rightarrow xyz = 22-\frac{12}{x}}\), podobnie \(\displaystyle{ xyz = 31-\frac{21}{y}, \ xyz = 13 - \frac{30}{z}}\). Przyrównując dwa pierwsze mamy: \(\displaystyle{ 22-\frac{12}{x} = 31-\frac{21}{y} \Rightarrow y=\frac{7x}{3x+4}}\) (1)
Po podstawieniu do pierwszego z wyjściowych równań: \(\displaystyle{ x + x \cdot \frac{7x}{3x+4} + 22-\frac{12}{x} = 12 \Rightarrow 5(x-1)(x+2)(x+\frac{12}{5})=0}\)
Mamy do sprawdzenia trzy wartości \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ 1, \ -2, -\frac{12}{5}}\). Dla każdej można z (1) obliczyć \(\displaystyle{ y}\), następnie podstawić do któregokolwiek z wyjściowych równań obliczyć \(\displaystyle{ z}\), na koniec jeszcze sprawdzić, czy działa.
PS. Sprawdziłem, rozwiązania to \(\displaystyle{ (1,1,10), \ (-2,7,-2), \ (-\frac{12}{5}, \frac{21}{4}, \ -\frac{15}{7})}\).